Faça um esboço do cilindro da equação dada:
z = e^x, y em R.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente fazer um esboço de um cilindro definido pela equação , com podendo ser qualquer número real. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para fazer esse esboço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação . Essa é uma função exponencial onde depende de . Para cada valor de , é calculado como , e pode ser qualquer valor real. Isso implica que para cada ponto na direção do eixo , a altura é a mesma para um dado .

Passo 3

Como não está restrito, o cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo . Isso significa que, para cada valor de , a função se repete ao longo de todo o eixo . Geometricamente, isso cria uma superfície que parece uma “folha” estendida ao longo de .

Passo 4

Para esboçar, vamos seguir esses passos:
  1. Desenhe o eixo , e em um sistema de coordenadas 3D.
  2. Trace a curva no plano . Essa curva começa perto de quando e cresce rapidamente conforme aumenta.
  3. Como é livre, desenhe linhas paralelas à direção em cada ponto da curva . Isso cria uma superfície contínua ao longo de .

Passo 5

Para visualizar melhor, imagine a curva como uma curva de crescimento exponencial no plano . Agora, “puxe” essa curva ao longo do eixo sem alterar sua forma. O resultado é o cilindro descrito pela equação , que se estende indefinidamente em ambas as direções do eixo .

Resposta

O cilindro definido por , com livre, é uma superfície que se estende indefinidamente ao longo do eixo , replicando a curva exponencial em todas as direções de .

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