Faça um esboço do cilindro da equação dada:
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente fazer um esboço de um cilindro definido pela equação
, com
podendo ser qualquer número real. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para fazer esse esboço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação
. Essa é uma função exponencial onde
depende de
. Para cada valor de
,
é calculado como
, e
pode ser qualquer valor real. Isso implica que para cada ponto na direção do eixo
, a altura
é a mesma para um dado
.
Passo 3
Como
não está restrito, o cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo
. Isso significa que, para cada valor de
, a função
se repete ao longo de todo o eixo
. Geometricamente, isso cria uma superfície que parece uma “folha” estendida ao longo de
.
Passo 4
Para esboçar, vamos seguir esses passos:
- Desenhe o eixo
, e em um sistema de coordenadas 3D. - Trace a curva
no plano . Essa curva começa perto de quando e cresce rapidamente conforme aumenta. - Como
é livre, desenhe linhas paralelas à direção em cada ponto da curva . Isso cria uma superfície contínua ao longo de .
Passo 5
Para visualizar melhor, imagine a curva
como uma curva de crescimento exponencial no plano
. Agora, “puxe” essa curva ao longo do eixo
sem alterar sua forma. O resultado é o cilindro descrito pela equação
, que se estende indefinidamente em ambas as direções do eixo
.
Resposta
O cilindro definido por
, com
livre, é uma superfície que se estende indefinidamente ao longo do eixo
, replicando a curva exponencial
em todas as direções de
.
Exercícios relacionados
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
, .
,
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
.
Encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado.
no plano
, em torno do eixo
.
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.