Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = x * y
, c = -2, c = -1, c = 1, c = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente representar no plano cartesiano as curvas de nível da função para os valores de nível . Isso envolve entender o que são curvas de nível e como plotar essas curvas para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é um valor constante. No nosso caso, isso significa resolver a equação para cada valor de dado.

Passo 3

Vamos resolver a equação para cada um dos valores de :
  1. Para :
    Isso representa uma hipérbole que abre nos quadrantes II e IV do plano cartesiano.
  2. Para :
    Também é uma hipérbole que abre nos quadrantes II e IV, mas mais próxima do centro comparada a .
  3. Para :
    Essa hipérbole abre nos quadrantes I e III do plano cartesiano.
  4. Para :
    Outra hipérbole que abre nos quadrantes I e III, mais afastada do centro comparada a .

Passo 4

Agora, vamos plotar essas hipérboles no plano cartesiano:
  • Para : A hipérbole passa pelos pontos e .
  • Para : Passa por e .
  • Para : Passa por e .
  • Para : Passa por e .
Cada hipérbole será simétrica em relação à origem e aos eixos, formando duas ramos em quadrantes opostos dependendo do sinal de .

Resposta

As curvas de nível da função para são hipérboles que se abrem nos quadrantes II e IV quando é negativo, e nos quadrantes I e III quando é positivo, conforme descrito e plotado no plano cartesiano.

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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = (x + y) / raiz(16 - x^2 - 4y^2).
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 + 1) / (1 + raiz(9 - x^2 - y^2)).
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = -raiz(9 - x^2 - y^2).
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = raiz(2y - x^2 - y^2).