Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
,
.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente representar no plano cartesiano as curvas de nível da função
para os valores de nível
. Isso envolve entender o que são curvas de nível e como plotar essas curvas para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como
, é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é um valor constante. No nosso caso, isso significa resolver a equação
para cada valor de
dado.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para cada um dos valores de
:
-
Para
: Isso representa uma hipérbole que abre nos quadrantes II e IV do plano cartesiano. -
Para
: Também é uma hipérbole que abre nos quadrantes II e IV, mas mais próxima do centro comparada a. -
Para
: Essa hipérbole abre nos quadrantes I e III do plano cartesiano. -
Para
: Outra hipérbole que abre nos quadrantes I e III, mais afastada do centro comparada a.
Passo 4
Agora, vamos plotar essas hipérboles no plano cartesiano:
- Para
: A hipérbole passa pelos pontos e . - Para
: Passa por e . - Para
: Passa por e . - Para
: Passa por e .
Cada hipérbole será simétrica em relação à origem e aos eixos, formando duas ramos em quadrantes opostos dependendo do sinal de
.
Resposta
As curvas de nível da função
para
são hipérboles que se abrem nos quadrantes II e IV quando
é negativo, e nos quadrantes I e III quando
é positivo, conforme descrito e plotado no plano cartesiano.
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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
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Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
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