Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = raiz(x + 1) / (raiz(2 x + y^2) + 6).

Passo 1

Beleza, então a questão pede para a gente determinar o domínio da função e representar esse domínio no plano cartesiano. Isso envolve entender onde a função está “valendo a pena”, ou seja, onde ela está definida. Para isso, vamos precisar saber sobre funções de duas variáveis, raízes quadradas e as condições para que uma função seja definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida, ou seja, que não resultam em operações matemáticas impossíveis, como a divisão por zero ou a raiz quadrada de um número negativo.

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para identificar as restrições:
Numerador:
Para que a raiz quadrada seja definida, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Denominador:
Primeiro, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
Além disso, o denominador não pode ser zero:
Mas como é sempre maior ou igual a zero e estamos somando 6 a ele, o denominador nunca será zero. Então, não precisamos nos preocupar com essa parte.

Passo 4

Agora, vamos juntar as condições que encontramos:
Vamos resolver a segunda inequação:
Como é sempre não negativo, isso significa que também deve ser menor ou igual a :

Passo 5

Agora, combinando as duas condições e , o domínio será a interseção dessas regiões no plano cartesiano. Basicamente, para cada valor de , deve ser maior ou igual a ambos e .

Passo 6

Vamos representar essas condições graficamente:
  1. : É uma região no plano onde todos os pontos estão à direita da linha vertical .
  2. : Essa é uma parábola invertida no eixo , abrindo para a direita.
O domínio será onde essas duas regiões se sobrepõem, ou seja, onde está à direita de ambos e da parábola .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde:
Graficamente, esse domínio é a região no plano cartesiano à direita da linha e da parábola , ou seja, a interseção dessas duas áreas.

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Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = -x - 3y + 1.
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = x^2 / 4 + y^2
, c=1, c=4.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = (x * raiz(y - 1)) / (x^2 + y^2 + 4 * x - 4 * y + 4).
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = (3x + x^2) / (x - y)
, c = -1, c = 3.