Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = x^2 / 4 + y^2
, c=1, c=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente representar no plano cartesiano as curvas de nível da função para os valores de nível e . Isso significa que vamos desenhar as curvas onde a função assume esses valores específicos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como transformar a função dada em equações que representem essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são as linhas no plano onde a função mantém um valor constante. No nosso caso, queremos saber onde é igual a 1 e 4.

Passo 3

Vamos começar resolvendo para . Substituímos por 1 na equação:
Essa é a equação de uma elipse. Uma elipse tem a forma geral:
onde é o centro da elipse, e e são os semi-eixos. No nosso caso, o centro está na origem , (então ) e (então ).

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para . Substituímos por 4:
Essa também é a equação de uma elipse, mas com valores diferentes. Comparando com a forma geral:
Podemos reescrever nossa equação dividindo ambos os lados por 4:
Agora, vemos que (então ) e (então ). O centro continua na origem .

Passo 5

Para representar no plano cartesiano:
  1. Para :
    • Centro:
    • Semi-eixo maior (x): 2 unidades
    • Semi-eixo menor (y): 1 unidade
    • Desenhe uma elipse mais estreita no eixo x.
  2. Para :
    • Centro:
    • Semi-eixo maior (x): 4 unidades
    • Semi-eixo menor (y): 2 unidades
    • Desenhe uma elipse maior no eixo x.

Resposta

As curvas de nível no plano cartesiano são duas elipses centradas na origem:
  1. Para : (elipse com semi-eixos 2 e 1).
  2. Para : (elipse com semi-eixos 4 e 2).

Exercícios relacionados

Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = 2x + y - 3
, c = -1, c = 0, c = 1, c = 2.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 - 6*x + 2*y + 6).
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = -x - 3y + 1.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = raiz(x + 1) / (raiz(2 x + y^2) + 6).