Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
,
.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente representar no plano cartesiano as curvas de nível da função
para os valores de nível
e
. Isso significa que vamos desenhar as curvas onde a função assume esses valores específicos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como transformar a função dada em equações que representem essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são as linhas no plano onde a função mantém um valor constante. No nosso caso, queremos saber onde
é igual a 1 e 4.
Passo 3
Vamos começar resolvendo para
. Substituímos
por 1 na equação:
Essa é a equação de uma elipse. Uma elipse tem a forma geral:
onde
é o centro da elipse, e
e
são os semi-eixos. No nosso caso, o centro está na origem
,
(então
) e
(então
).
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Substituímos
por 4:
Essa também é a equação de uma elipse, mas com valores diferentes. Comparando com a forma geral:
Podemos reescrever nossa equação dividindo ambos os lados por 4:
Agora, vemos que
(então
) e
(então
). O centro continua na origem
.
Passo 5
Para representar no plano cartesiano:
-
Para
: - Centro:
- Semi-eixo maior (x): 2 unidades
- Semi-eixo menor (y): 1 unidade
- Desenhe uma elipse mais estreita no eixo x.
- Centro:
-
Para
: - Centro:
- Semi-eixo maior (x): 4 unidades
- Semi-eixo menor (y): 2 unidades
- Desenhe uma elipse maior no eixo x.
- Centro:
Resposta
As curvas de nível no plano cartesiano são duas elipses centradas na origem:
- Para
: (elipse com semi-eixos 2 e 1). - Para
: (elipse com semi-eixos 4 e 2).
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Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
, .
,
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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