Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
. Nosso objetivo é encontrar o domínio dessa função, ou seja, todos os pares
onde a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre radiciação e divisão de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da função:
. A presença da raiz quadrada impõe uma condição: o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Isso significa que para a função estar definida, o valor de
deve ser no mínimo 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. A gente sabe que uma fração não pode ter o denominador igual a zero, porque dividir por zero não está definido. Então, precisamos garantir que:
Vamos simplificar essa expressão para entender melhor quando ela poderia ser igual a zero.
Passo 4
Vamos completar o quadrado para as variáveis
e
. Primeiramente, para os termos de
:
E para os termos de
:
Substituindo na expressão do denominador:
Portanto, a condição para o denominador ser diferente de zero é:
Isso descreve um círculo de raio 2 centrado em
. Portanto, a função não está definida nos pontos que estão exatamente nesse círculo.
Passo 5
Resumindo as condições que encontramos:
-
(para a raiz quadrada ser válida). -
(para evitar divisão por zero).
Essas duas condições definem o domínio da função.
Passo 6
Agora, para representar o domínio no plano cartesiano, vamos plotar as regiões que satisfazem
e excluir o círculo de raio 2 centrado em
. Ou seja, será toda a região acima da linha
, menos os pontos que estão na circunferência mencionada.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que
e
. No plano cartesiano, isso corresponde a todas as regiões acima da linha
, exceto os pontos que pertencem ao círculo de raio 2 centrado em
.
Exercícios relacionados
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
.
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
, .
,
Faça um esboço do cilindro da equação dada:
.