Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = (x * raiz(y - 1)) / (x^2 + y^2 + 4 * x - 4 * y + 4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . Nosso objetivo é encontrar o domínio dessa função, ou seja, todos os pares (x, y) onde a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre radiciação e divisão de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da função: . A presença da raiz quadrada impõe uma condição: o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Isso significa que para a função estar definida, o valor de y deve ser no mínimo 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . A gente sabe que uma fração não pode ter o denominador igual a zero, porque dividir por zero não está definido. Então, precisamos garantir que:
Vamos simplificar essa expressão para entender melhor quando ela poderia ser igual a zero.

Passo 4

Vamos completar o quadrado para as variáveis x e y. Primeiramente, para os termos de x:
E para os termos de y:
Substituindo na expressão do denominador:
Portanto, a condição para o denominador ser diferente de zero é:
Isso descreve um círculo de raio 2 centrado em . Portanto, a função não está definida nos pontos que estão exatamente nesse círculo.

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
  1. (para a raiz quadrada ser válida).
  2. (para evitar divisão por zero).
Essas duas condições definem o domínio da função.

Passo 6

Agora, para representar o domínio no plano cartesiano, vamos plotar as regiões que satisfazem e excluir o círculo de raio 2 centrado em . Ou seja, será toda a região acima da linha , menos os pontos que estão na circunferência mencionada.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares (x, y) tais que e . No plano cartesiano, isso corresponde a todas as regiões acima da linha , exceto os pontos que pertencem ao círculo de raio 2 centrado em .

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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = raiz(x + 1) / (raiz(2 x + y^2) + 6).
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde z = f(x, y) ):
z = -x - 3y + 1.
Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível c dados:
f(x, y) = (3x + x^2) / (x - y)
, c = -1, c = 3.
Faça um esboço do cilindro da equação dada:
z = |y|, x in R.