Representar no plano cartesiano as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores de nível
dados:
,
.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar no plano cartesiano as curvas de nível da função
para os valores de nível
e
. Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para isso, vamos precisar entender como encontrar as curvas onde a função assume esses valores específicos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são todas as combinações de
e
que fazem a função
igual a um valor constante
. Ou seja, para cada
, temos uma equação
.
Passo 3
Vamos começar substituindo
por
na equação dada:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
em função de
, o que vai nos dar a curva de nível correspondente a cada
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Agora, vamos distribuir o
na expressão do lado direito:
Passo 6
Queremos isolar
, então vamos mover todos os termos que contêm
para um lado e os demais para o outro:
Passo 7
Agora, fatoramos o
do lado direito:
Passo 8
Dividimos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 9
Simplificamos a expressão:
Podemos fatorar
do numerador:
Passo 10
Agora, temos
em função de
para qualquer valor de
. Vamos aplicar isso para
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
:
- Para
:
Essas equações representam as curvas que você deve plotar no plano cartesiano para cada valor de
.
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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Faça um esboço do cilindro da equação dada:
.
Esboce o gráfico das funções abaixo (onde
):
.