Questão 7. Calcule os limites abaixo usando as regras de La) (1,0) lim x +infty(1+3x)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando tende ao infinito. Isso está relacionado ao estudo de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como a base se comporta conforme cresce e como isso afeta a potência .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão . Conforme fica muito grande, fica muito pequena, praticamente indo para zero. Então, a base da potência está se aproximando de 1. Mas como estamos elevando isso a uma potência que cresce sem limites, precisamos entender melhor esse comportamento.

Passo 3

Lembra da definição do número e = limx to +infty (1 + 1x)^x , que é aproximadamente 2,71828? Uma das definições de limx to +infty (1 + ax)^x = e^a é justamente:
No nosso caso, temos . Podemos adaptar a definição substituindo o 1 por 3. Assim, a fórmula geral fica:
onde é uma constante. No nosso exercício, .

Passo 4

Aplicando essa fórmula, substituímos limx to +infty (1 + 3x)^x = e^3 por 3:
Isso significa que o limite da expressão dada é elevado à terceira potência.

Resposta

O limite é .

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