Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
h)
h)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis
. Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, encontrar todos os pares
para os quais a função está definida. Para isso, precisamos analisar as limitações impostas pelas operações matemáticas envolvidas, como a raiz quadrada e a divisão.
Passo 2
Vamos começar olhando para a expressão dentro da raiz quadrada no numerador,
. Para que essa raiz seja real e definida, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero. Portanto, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que
deve ser pelo menos 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada no denominador,
. Novamente, para que a raiz seja real e definida, o conteúdo deve ser maior ou igual a zero:
Vamos simplificar essa expressão completando o quadrado.
Passo 4
Vamos completar o quadrado para
e
:
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 5
A desigualdade
representa todos os pontos
que estão fora ou na fronteira de um círculo com centro em
e raio 2. Isso significa que
e
devem estar a uma distância de pelo menos 2 unidades do ponto
.
Passo 6
Além disso, precisamos garantir que o denominador da função nunca seja zero, ou seja:
Como a raiz quadrada sempre resulta em um valor não negativo e estamos somando 10, o denominador será sempre maior que zero. Portanto, não há restrições adicionais a partir do denominador.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que
e
. Geometricamente, isso corresponde a todas as pontos no plano
que estão na região acima da linha
e fora ou na fronteira do círculo com centro em
e raio 2.
Exercícios relacionados
Use a reagra da cadeia para determinar
.
.
Mostre que
.
Use a regra da cadeia para determinar
.
.