Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a divergente de
é igual a
vezes a divergente de
mais o produto de
pelo gradiente de
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre operações com operadores diferenciais como o gradiente (
) e a divergente (
). Vamos precisar das definições de divergente e gradiente, além das regras de derivação de produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergente de um campo vetorial. A divergente de
é dada por:
E o gradiente de uma função escalar
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergente de
. Se
, então:
Aplicando a definição de divergente:
Passo 4
Vamos aplicar a regra do produto para derivadas em cada termo:
Fazendo o mesmo para os outros termos:
Passo 5
Agora, somando todos os termos:
Perceba que:
E:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Determine os limites a seguir com o auxílio da regra de Lu)
Existe um campo vetorial
tal que
? Explique.
Use a reagra da cadeia para determinar
.
.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
h)
h)