Mostre que ∇ . (f F) = f ∇ . F + F . ∇ f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a divergente de é igual a vezes a divergente de mais o produto de pelo gradiente de . Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre operações com operadores diferenciais como o gradiente ( ) e a divergente ( ). Vamos precisar das definições de divergente e gradiente, além das regras de derivação de produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergente de um campo vetorial. A divergente de é dada por:
E o gradiente de uma função escalar é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergente de . Se , então:
Aplicando a definição de divergente:

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto para derivadas em cada termo:
Fazendo o mesmo para os outros termos:

Passo 5

Agora, somando todos os termos:
Perceba que:
E:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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