Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
c)
;
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar, esboçar e dizer se a equação quadrática
representa uma superfície de revolução. A matéria que vamos precisar aqui inclui conjuntos de soluções de equações quadráticas (também conhecidas como cônicas) e o conceito de superfícies de revolução. Vamos precisar analisar a forma da equação, lembrar como identificar diferentes tipos de cônicas e entender o que significa uma superfície ser de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
. Essa é uma equação quadrática porque as variáveis
e
estão elevadas ao quadrado. Precisamos identificar que tipo de cônica isso representa. Para isso, comparamos com as formas padrão das cônicas:
- Parábola: Tem apenas um termo quadrático, como
. - Circunferência: Tem
. - Elipse: Tem
. - Hipérbole: Tem uma subtração entre os termos quadráticos, como
.
No nosso caso, temos uma subtração, então estamos lidando com uma hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos transformar a equação
para a forma padrão da hipérbole. Dividimos ambos os lados por 4:
Isso nos mostra que a hipérbole está centrada na origem (
), com o eixo principal ao longo do eixo
(porque o termo positivo é
).
Passo 4
Para esboçar a hipérbole, sabemos que ela terá duas ramas que se afastam em direções opostas ao longo do eixo
. Os vértices estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo principal. Aqui,
, então
. Portanto, os vértices estão em
e
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre as assíntotas da hipérbole, que são linhas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. As equações das assíntotas para uma hipérbole na forma
são dadas por:
No nosso caso,
e
, então as assíntotas são:
Passo 6
Finalmente, vamos determinar se essa hipérbole é uma superfície de revolução. Superfícies de revolução são obtidas ao girar uma curva ao redor de um eixo. No caso das hipérboles, elas não são superfícies de revolução, pois uma superfície de revolução resultaria em uma hipérbole de duas folhas ou um hiperboloide, que são 3D. Nossa equação está no plano 2D e não envolve rotação em torno de um eixo.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole com centro na origem, vértices em
e
, e assíntotas dadas por
. Além disso, essa hipérbole não é uma superfície de revolução.
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Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
Apresentar um vetor genérico
que satisfaz a condição: paralelo ao eixo
;
Seja
o hiperbolóide de uma folha. Mostre que sua equação pode ser escrita como
e prove que:
(d) é uma superfície regrada.
(d)
Determinar a equação de um cone cujo vértice coincide com a origem das coordenadas e cuja diretriz é dada pelas equações
.