Seja
. Verifique que
é um subespaço de
e encontre subespaços
e
de
tais que
e
.
Passo 1
Então, a gente tem que analisar o conjunto
dentro de
. O objetivo é verificar se
é um subespaço de
e, depois, encontrar outros subespaços
e
que, quando somados com
, formam todo o espaço
. Também precisamos garantir que
e
não têm nada em comum além do zero.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se
é um subespaço de
. Para ser um subespaço,
precisa satisfazer três condições:
- O vetor zero está em
. - Se você pegar qualquer vetor em
e escalar por um número real, o resultado ainda está em . - Se você somar dois vetores de
, o resultado também está em .
Passo 3
Vamos verificar cada condição:
- O vetor zero em
é . Se colocarmos na definição de , temos , então o zero está em . - Se pegarmos um vetor qualquer
em e multiplicarmos por um escalar , temos , que também está em . - Se somarmos dois vetores
e de , obtemos , que também pertence a .
Passo 4
Como todas as três condições são satisfeitas, podemos concluir que
é realmente um subespaço de
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar subespaços
e
tais que:
Isso significa que cada um desses subespaços, quando somados com
, formam todo o espaço
, e
e
não compartilham nenhum vetor além do zero.
Passo 6
Vamos lembrar que a soma direta
significa que todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Passo 7
Primeiro, vamos escolher
. Uma escolha simples é o subespaço que é perpendicular a
. Como
é a linha
, um subespaço perpendicular seria a linha
. Então, podemos definir
.
Passo 8
Vamos verificar se
. Tomemos um vetor qualquer
em
. Queremos encontrar
em
e
em
tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Como sempre conseguimos encontrar
e
, a soma direta funciona.
Passo 9
Agora vamos escolher
. Podemos escolher um subespaço diferente de
que também complementa
no espaço. Uma opção é escolher o eixo
, ou seja,
.
Passo 10
Vamos verificar se
. Tomemos um vetor qualquer
em
. Queremos encontrar
em
e
em
tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Então,
e
. Como sempre conseguimos encontrar
e
, a soma direta também funciona aqui.
Passo 11
Por fim, precisamos garantir que
. Ou seja, o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero.
Passo 12
Vamos verificar a interseção. Um vetor em
tem a forma
e um vetor em
tem a forma
. Se
, então temos:
Então,
. Portanto, o único vetor comum é
.