Seja W=(x, x) ; x in R subset R^2. Verifique que W é um subespaço de R^2 e encontre subespaços W^prime e W^prime prime de R^2 tais que W^prime oplus W=W^prime prime oplus W=R^2 e W^prime cap W^prime prime=0.

Passo 1

Então, a gente tem que analisar o conjunto dentro de . O objetivo é verificar se é um subespaço de e, depois, encontrar outros subespaços e que, quando somados com , formam todo o espaço . Também precisamos garantir que e não têm nada em comum além do zero.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se é um subespaço de . Para ser um subespaço, precisa satisfazer três condições:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se você pegar qualquer vetor em e escalar por um número real, o resultado ainda está em .
  3. Se você somar dois vetores de , o resultado também está em .

Passo 3

Vamos verificar cada condição:
  1. O vetor zero em é . Se colocarmos na definição de , temos , então o zero está em .
  2. Se pegarmos um vetor qualquer em e multiplicarmos por um escalar , temos , que também está em .
  3. Se somarmos dois vetores e de , obtemos , que também pertence a .

Passo 4

Como todas as três condições são satisfeitas, podemos concluir que é realmente um subespaço de .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar subespaços e tais que:
Isso significa que cada um desses subespaços, quando somados com , formam todo o espaço , e e não compartilham nenhum vetor além do zero.

Passo 6

Vamos lembrar que a soma direta significa que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de .

Passo 7

Primeiro, vamos escolher . Uma escolha simples é o subespaço que é perpendicular a . Como é a linha , um subespaço perpendicular seria a linha . Então, podemos definir .

Passo 8

Vamos verificar se (u, v) = (a, -a) + (b, b) = (a + b, -a + b) . Tomemos um vetor qualquer a + b = u - a + b = v em 2b = u + v implies b = u + v2 . Queremos encontrar a + u + v2 = u implies a = u - v2 em e em tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Como sempre conseguimos encontrar e , a soma direta funciona.

Passo 9

Agora vamos escolher . Podemos escolher um subespaço diferente de que também complementa no espaço. Uma opção é escolher o eixo , ou seja, .

Passo 10

Vamos verificar se (u, v) = (c, 0) + (b, b) = (c + b, b) . Tomemos um vetor qualquer c + b = u b = v em . Queremos encontrar em e em tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Então, e . Como sempre conseguimos encontrar e , a soma direta também funciona aqui.

Passo 11

Por fim, precisamos garantir que . Ou seja, o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero.

Passo 12

Vamos verificar a interseção. Um vetor em a = c - a = 0 implies a = 0 tem a forma e um vetor em tem a forma . Se , então temos:
Então, . Portanto, o único vetor comum é .

Resposta

é um subespaço de . Os subespaços e satisfazem e .

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