Determine:
o ponto de intersecção entre a reta r : lx=1+theta y=2-theta z=1-2 theta , theta in R, e a reta s: x-12=y-63=z-42.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar o ponto de intersecção entre duas retas no espaço. Hoje, a gente vai trabalhar com o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente com equações paramétricas e simétricas de retas. Para resolver isso, vamos precisar achar valores que satisfaçam ambas as equações das retas, ou seja, encontrar um ponto que está nas duas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas. A reta x = 1 + theta y = 2 - theta z = 1 - 2theta está dada de forma paramétrica:
x - 12 = y - 63 = z - 42
Aqui, x = 1 + 2lambda y = 6 + 3lambda z = 4 + 2lambda é o parâmetro que varia nos números reais.
Já a reta está na forma simétrica:
Para facilitar, vamos transformar a equação da reta também para a forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de :
Agora temos as duas retas e na forma paramétrica, com parâmetros e , respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o ponto de intersecção, precisamos que as coordenadas 1 + theta = 1 + 2lambda 2 - theta = 6 + 3lambda 1 - 2theta = 4 + 2lambda , e sejam iguais para um mesmo ponto nas duas retas. Então, vamos igualar as respectivas componentes:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .

Passo 4

Começando pela primeira equação:
1 + theta = 1 + 2lambda Rightarrow theta = 2lambda (1)
Agora, vamos usar a segunda equação:
2 - theta = 6 + 3lambda Rightarrow -theta - 3lambda = 6 - 2 Rightarrow -theta - 3lambda = 4
Substituindo -2lambda - 3lambda = 4 Rightarrow -5lambda = 4 Rightarrow lambda = -45 da equação (1):
theta = 2 times (-45) = -85
Agora, substituindo de volta na equação (1):

Passo 5

Agora que temos os valores de x = 1 + theta = 1 - 85 = 55 - 85 = -35 y = 2 - theta = 2 - (-85) = 2 + 85 = 105 + 85 = 185 z = 1 - 2theta = 1 - 2 times (-85) = 1 + 165 = 55 + 165 = 215 e , vamos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção usando a equação paramétrica de qualquer uma das retas. Vamos usar a reta :

Resposta

O ponto de intersecção das retas e é .

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