Determine:
o ponto de intersecção entre a reta : , e a reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar o ponto de intersecção entre duas retas no espaço. Hoje, a gente vai trabalhar com o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente com equações paramétricas e simétricas de retas. Para resolver isso, vamos precisar achar valores que satisfaçam ambas as equações das retas, ou seja, encontrar um ponto que está nas duas ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas. A reta está dada de forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro que varia nos números reais.
Já a reta está na forma simétrica:
Para facilitar, vamos transformar a equação da reta também para a forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de :
Agora temos as duas retas e na forma paramétrica, com parâmetros e , respectivamente.
Passo 3
Para encontrar o ponto de intersecção, precisamos que as coordenadas , e sejam iguais para um mesmo ponto nas duas retas. Então, vamos igualar as respectivas componentes:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Passo 4
Começando pela primeira equação:
Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo da equação (1):
Agora, substituindo de volta na equação (1):
Passo 5
Agora que temos os valores de e , vamos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção usando a equação paramétrica de qualquer uma das retas. Vamos usar a reta :