Seja A e B vetores pertencentes ao espaço vetorial V^n, que possui base canônica i, j, k. Faça a demostração das propriedades: A cdot(B+C)=A cdot B+A cdot C

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores, A, B e C, no espaço vetorial V^n com base canônica i, j, k. A parada aqui é mostrar que o produto escalar do vetor A com a soma dos vetores B e C é igual à soma dos produtos escalares de A com B e de A com C. Para isso, vamos usar as definições de produto escalar e soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar os vetores A, B e C nas suas componentes usando a base canônica:
A = Ai i + Aj j + Ak k
B = Bi i + Bj j + Bk k
C = Ci i + Cj j + Ck k

Passo 3

Agora, vamos somar os vetores B e C:
B + C = (Bi + Ci) i + (Bj + Cj) j + (Bk + Ck) k

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar de A com a soma B + C usando a definição de produto escalar, que é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
A cdot (B + C) = Ai (Bi + Ci) + Aj (Bj + Cj) + Ak (Bk + Ck)

Passo 5

Agora, vamos calcular separadamente os produtos escalares de A com B e de A com C:
A cdot B = Ai Bi + Aj Bj + Ak Bk
A cdot C = Ai Ci + Aj Cj + Ak Ck

Passo 6

Vamos somar os dois resultados acima:
A cdot B + A cdot C = (Ai Bi + Aj Bj + Ak Bk) + (Ai Ci + Aj Cj + Ak Ck)
= Ai (Bi + Ci) + Aj (Bj + Cj) + Ak (Bk + Ck)
Vimos que esse resultado é igual ao que obtivemos no Passo 4.

Resposta

Portanto, demonstramos que A cdot(B+C)=A cdot B+A cdot C.

Exercícios relacionados