Seja
e
vetores pertencentes ao espaço vetorial
, que possui base canônica
. Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores,
,
e
, no espaço vetorial
com base canônica
. A parada aqui é mostrar que o produto escalar do vetor
com a soma dos vetores
e
é igual à soma dos produtos escalares de
com
e de
com
. Para isso, vamos usar as definições de produto escalar e soma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar os vetores
,
e
nas suas componentes usando a base canônica:
Passo 3
Agora, vamos somar os vetores
e
:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar de
com a soma
usando a definição de produto escalar, que é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
Passo 5
Agora, vamos calcular separadamente os produtos escalares de
com
e de
com
:
Passo 6
Vamos somar os dois resultados acima:
Vimos que esse resultado é igual ao que obtivemos no Passo 4.
Resposta
Portanto, demonstramos que
.