Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores, , e , no espaço vetorial com base canônica . A parada aqui é mostrar que o produto escalar do vetor com a soma dos vetores e é igual à soma dos produtos escalares de com e de com . Para isso, vamos usar as definições de produto escalar e soma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar os vetores , e nas suas componentes usando a base canônica:
Passo 3
Agora, vamos somar os vetores e :
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar de com a soma usando a definição de produto escalar, que é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
Passo 5
Agora, vamos calcular separadamente os produtos escalares de com e de com :
Passo 6
Vamos somar os dois resultados acima:
Vimos que esse resultado é igual ao que obtivemos no Passo 4.