Determinar a equação geral do plano que contém as retas:
(a) , e s:lx=-2 beta+1 y=0 z=4 beta+1 , beta in R;
(b) r:lx=-2 alpha+1 y=3 alpha z=alpha+2, alpha in R, e s:lx=4 beta+2 y=-6 beta+1 z=-2 beta+3, beta in R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) desse exercício. O que a gente tem aqui são duas retas dadas em forma paramétrica, e nosso objetivo é encontrar a equação geral do plano que contém essas duas retas. Para isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica, como representação paramétrica de retas e a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas retas fornecidas:
A reta r é dada por:
x = 0 y = alpha z = alpha + 3
onde x = -2beta + 1 y = 0 z = 4beta + 1 é um parâmetro real.
A reta s é dada por:
onde é outro parâmetro real.
Passo 3
Vamos encontrar um ponto em comum no plano. Vamos escolher valores específicos para (x, y, z) = (0, 0, 3) e (x, y, z) = (1, 0, 1) para encontrar pontos nas retas.
Para a reta r, se :
Então, temos o ponto .
Para a reta s, se :
Então, temos o ponto .
Passo 4
Agora, precisamos de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos encontrar dois vetores que estão no plano e, em seguida, calcular o produto vetorial deles.
Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas r e s.
Para a reta r, o vetor diretor é:
vr = 0 1 1
porque vs = -2 0 4 não muda (0), aumenta 1 com , e também aumenta 1 com .
Para a reta s, o vetor diretor é:
porque muda -2 com , não muda (0), e muda 4 com .
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial n = vr times vs = i & j & k 0 & 1 & 1 -2 & 0 & 4 = i(1 cdot 4 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 4 - 1 cdot (-2)) + k(0 cdot 0 - 1 cdot (-2)) = 4i + 2j + 2k para encontrar o vetor normal ao plano:
Então, o vetor normal é .
Passo 6
Com o vetor normal 4(x - 0) + 2(y - 0) + 2(z - 3) = 0 e o ponto 4x + 2y + 2z - 6 = 0 no plano, podemos usar a equação geral do plano:
2x + y + z - 3 = 0
Simplificando:
Ou, dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício. Assim como na parte anterior, temos duas retas em forma paramétrica e precisamos encontrar a equação geral do plano que as contém. Vamos utilizar os mesmos conceitos de geometria analítica.
Passo 8
Vamos analisar as duas retas fornecidas na parte (b):
A reta r é dada por:
x = -2alpha + 1 y = 3alpha z = alpha + 2
onde x = 4beta + 2 y = -6beta + 1 z = -2beta + 3 é um parâmetro real.
A reta s é dada por:
onde é outro parâmetro real.
Passo 9
Vamos encontrar um ponto comum no plano. Vamos escolher valores específicos para (x, y, z) = (1, 0, 2) e (x, y, z) = (2, 1, 3) para encontrar pontos nas retas.
Para a reta r, se :
Então, temos o ponto .
Para a reta s, se :
Então, temos o ponto .
Passo 10
Vamos encontrar os vetores diretores das retas r e s.
Para a reta r, o vetor diretor é:
vr = -2 3 1
porque vs = 4 -6 -2 muda -2 com , muda 3 com , e muda 1 com .
Para a reta s, o vetor diretor é:
porque muda 4 com , muda -6 com , e muda -2 com .
Passo 11
Calculamos o produto vetorial n = vr times vs = i & j & k -2 & 3 & 1 4 & -6 & -2 = i(3 cdot (-2) - 1 cdot (-6)) - j((-2) cdot (-2) - 1 cdot 4) + k((-2) cdot (-6) - 3 cdot 4) = i(-6 + 6) - j(4 - 4) + k(12 - 12) = 0i + 0j + 0k para encontrar o vetor normal ao plano:
O vetor resultante é , o que significa que as retas são paralelas ou coincidentes, e não definem um plano único.
Passo 12
Como o vetor normal é nulo, isso indica que as retas r e s são paralelas. Para que exista um plano que as contenha, precisamos verificar se elas são coincidentes ou apenas paralelas.
Vamos verificar se os pontos e pertencem ao mesmo plano. Porém, como as retas são paralelas e não coincidentes, infinitos planos podem conter ambas as retas. Portanto, não há uma equação única para o plano .
Resposta
As retas r e s na parte (b) são paralelas e não coincidentes, então infinitos planos podem conter ambas. Portanto, não há uma única equação geral do plano para essa parte.