Determinar a equação geral do plano que contém as retas:
(a) , e ;
(b) , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) desse exercício. O que a gente tem aqui são duas retas dadas em forma paramétrica, e nosso objetivo é encontrar a equação geral do plano que contém essas duas retas. Para isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica, como representação paramétrica de retas e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas retas fornecidas:
A reta r é dada por:
onde é um parâmetro real.
A reta s é dada por:
onde é outro parâmetro real.

Passo 3

Vamos encontrar um ponto em comum no plano. Vamos escolher valores específicos para e para encontrar pontos nas retas.
Para a reta r, se :
Então, temos o ponto .
Para a reta s, se :
Então, temos o ponto .

Passo 4

Agora, precisamos de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos encontrar dois vetores que estão no plano e, em seguida, calcular o produto vetorial deles.
Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas r e s.
Para a reta r, o vetor diretor é:
porque não muda (0), aumenta 1 com , e também aumenta 1 com .
Para a reta s, o vetor diretor é:
porque muda -2 com , não muda (0), e muda 4 com .

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano:
Então, o vetor normal é .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos usar a equação geral do plano:
Simplificando:
Ou, dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício. Assim como na parte anterior, temos duas retas em forma paramétrica e precisamos encontrar a equação geral do plano que as contém. Vamos utilizar os mesmos conceitos de geometria analítica.

Passo 8

Vamos analisar as duas retas fornecidas na parte (b):
A reta r é dada por:
onde é um parâmetro real.
A reta s é dada por:
onde é outro parâmetro real.

Passo 9

Vamos encontrar um ponto comum no plano. Vamos escolher valores específicos para e para encontrar pontos nas retas.
Para a reta r, se :
Então, temos o ponto .
Para a reta s, se :
Então, temos o ponto .

Passo 10

Vamos encontrar os vetores diretores das retas r e s.
Para a reta r, o vetor diretor é:
porque muda -2 com , muda 3 com , e muda 1 com .
Para a reta s, o vetor diretor é:
porque muda 4 com , muda -6 com , e muda -2 com .

Passo 11

Calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano:
O vetor resultante é , o que significa que as retas são paralelas ou coincidentes, e não definem um plano único.

Passo 12

Como o vetor normal é nulo, isso indica que as retas r e s são paralelas. Para que exista um plano que as contenha, precisamos verificar se elas são coincidentes ou apenas paralelas.
Vamos verificar se os pontos e pertencem ao mesmo plano. Porém, como as retas são paralelas e não coincidentes, infinitos planos podem conter ambas as retas. Portanto, não há uma equação única para o plano .

Resposta

As retas r e s na parte (b) são paralelas e não coincidentes, então infinitos planos podem conter ambas. Portanto, não há uma única equação geral do plano para essa parte.

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(e)
(1,0 ponto) Calcule as projeções Proj , Proju e Proj .
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(h)
(a) Determine .
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