Nos itens abaixo, temos as formas escalonadas reduzidas das matrizes ampliadas de oito sistemas lineares. Resolva cada sistema.
(h)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz ampliada que representa um sistema linear com quatro variáveis. Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que resolvem o sistema. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes escalonadas e variáveis livres.
Passo 2
Vamos escrever as equações a partir da matriz aumentada:
Observamos que a terceira equação já está resolvida para x4 = 2 :
Isso significa que é uma variável conhecida.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda equação:
x2 + 4x3 = 3
Aqui, x2 = 3 - 4x3 depende de . Podemos isolar :
Passo 5
Na primeira equação, temos:
x1 + x2 - 3x3 + 2x4 = 1
Substituindo x1 + (3 - 4x3) - 3x3 + 2(2) = 1 e x1 + 3 - 4x3 - 3x3 + 4 = 1 pelas expressões que já encontramos:
x1 - 7x3 + 7 = 1
Simplificando:
x1 = 7x3 - 6
Passo 6
Percebemos que x3 = t não está restrita por nenhuma equação, ou seja, ela é uma variável livre. Vamos chamá-la de , onde pode ser qualquer número real.
Então temos:
Passo 7
Substituindo x1 = 7t - 6 nas expressões anteriores:
x2 = 3 - 4t
x4 = 2
Resposta
A solução geral do sistema é:
x1 = 7t - 6 x2 = 3 - 4t x3 = t x4 = 2 onde t é um número real éú