(a) Determine (r1 cap r2) cup(r1 cap r3) cup(r2 cap r3).
(b) Determine a equação geral de um plano Omega que contenha as retas r1, r2 e r3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, temos três retas no espaço, chamadas de , e . O que a gente precisa fazer está dividido em duas partes:
a) Encontrar os pontos de interseção entre cada par dessas retas e juntar tudo isso.
b) Encontrar a equação geral de um plano que contenha todas essas três retas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações paramétricas de retas, sistemas de equações para encontrar interseções e a equação geral de um plano.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Primeiro, precisamos entender as equações das retas:
A reta x = 2t y = 1 z = 4t + 3 , t in R está dada por:
y2 = z - 34, x = 1
Isso é uma forma paramétrica, onde y - x = 1 4y - z = 1 é o parâmetro.
A reta está dada por:
Aqui, podemos expressar e em termos de um parâmetro, digamos .
A reta está dada por:
Essas são equações lineares que podemos resolver para encontrar a forma paramétrica da reta.
Passo 3
Vamos achar a interseção entre x = 2t, y = 1, z = 4t + 3 e x = 1 .
Para y2 = z - 34 e 2t = 1 implies t = 12 se cortarem, deve existir um ponto que satisfaça ambas as equações.
De y = 1 :
z = 4 times 12 + 3 = 2 + 3 = 5
De :
E
Como na e na , temos:
Agora, substituímos em :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, vamos ver se y - x = 1 implies y = x + 1 e 4y - z = 1 implies z = 4y - 1 se interceptam.
Primeiro, precisamos expressar z = 4(x + 1) - 1 = 4x + 4 - 1 = 4x + 3 de forma paramétrica.
Temos:
x = s y = s + 1 z = 4s + 3 , s in R
x = 2t = s
Substituindo y = 1 = s + 1 implies s = 0 na segunda equação:
z = 4t + 3 = 4s + 3
Então, a forma paramétrica de x = 0, y = 1, z = 3 é:
Agora, igualamos com :
De , temos . Substituindo:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 5
Agora, vamos verificar se x = 1 e y2 = z - 34 implies z = 2y + 3 se cruzam.
Para x = s y = s + 1 z = 4s + 3 :
s = 1
E
z = 2y + 3 = 2 times 2 + 3 = 7
Para , já temos:
Igualando :
Então, e .
Vamos verificar se esse ponto está em :
Está certo!
Então, o ponto de interseção é .
Passo 6
Agora, juntando todos os pontos de interseção que encontramos:
(r1 cap r2) cup (r1 cap r3) cup (r2 cap r3) = , (1,1,5), (0,1,3), (1,2,7) ,