Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(1,0,-2) e é paralelo aos vetores u=(1,-1,1) e v=(2,3,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Queremos encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica de planos no espaço.

Passo 2

Sabemos que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
ax + by + cz + d = 0
Onde é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal.

Passo 3

Como o plano é paralelo aos vetores n = u times v e , o vetor normal será perpendicular a ambos. Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial. Então,

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial n = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 3 & 0 :
n = i((-1)(0) - (1)(3)) - j((1)(0) - (1)(2)) + k((1)(3) - (-1)(2))
n = i(0 - 3) - j(0 - 2) + k(3 + 2)
n = -3i + 2j + 5k
Portanto, o vetor normal é .

Passo 5

Com o vetor normal encontrado, podemos usar a equação geral do plano passando pelo ponto -3(x - 1) + 2(y - 0) + 5(z + 2) = 0 . A equação é dada por:
-3x + 3 + 2y + 5z + 10 = 0
Expandindo os termos:
-3x + 2y + 5z + 13 = 0
3x - 2y - 5z - 13 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional:

Resposta

A equação geral do plano é .

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