Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Queremos encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica de planos no espaço.
Passo 2
Sabemos que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
Onde é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esse vetor normal.
Passo 3
Como o plano é paralelo aos vetores e , o vetor normal será perpendicular a ambos. Para encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial. Então,
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
n = i(0 - 3) - j(0 - 2) + k(3 + 2)
n = -3i + 2j + 5k
Portanto, o vetor normal é .
Passo 5
Com o vetor normal encontrado, podemos usar a equação geral do plano passando pelo ponto -3(x - 1) + 2(y - 0) + 5(z + 2) = 0 . A equação é dada por:
-3x + 3 + 2y + 5z + 10 = 0
Expandindo os termos:
-3x + 2y + 5z + 13 = 0
3x - 2y - 5z - 13 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional: