Encontre a equação característica de cada matriz:
[ll3 & 2 4 & 1]

Passo 1

Vamos lá! Você quer encontrar a equação característica da matriz:
3 & 2 4 & 1
Esse exercício faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e equações características. Para resolver, vamos precisar usar a definição de matriz característica, que envolve determinantes e polinômios.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a equação característica. Ela é obtida a partir da matriz det(A - lambda I) = 0 subtraindo-se vezes a matriz identidade e igualando o determinante a zero:
Aqui, representa os autovalores da matriz .

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 0 & 1 . A matriz identidade lambda I = lambda & 0 0 & lambda para uma matriz 2x2 é:
Multiplicando por :

Passo 4

Subtraindo A - lambda I = 3 - lambda & 2 4 & 1 - lambda da matriz :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da matriz det(A - lambda I) = (3 - lambda)(1 - lambda) - (2 times 4) :
a & b c & d
Aqui, usamos a regra do determinante para matrizes 2x2: .

Passo 6

Vamos expandir a expressão:
(3 - lambda)(1 - lambda) = 3 times 1 - 3 times lambda - lambda times 1 + lambda^2 = 3 - 3lambda - lambda + lambda^2 = lambda^2 - 4lambda + 3
E então:
det(A - lambda I) = (lambda^2 - 4lambda + 3) - 8 = lambda^2 - 4lambda - 5

Resposta

A equação característica da matriz é:
lambda^2 - 4lambda - 5 = 0

Exercícios relacionados