determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação geral de um plano que seja perpendicular à reta definida por:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e utilizá-lo para determinar o vetor normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . A reta está parametrizada por , então os coeficientes de nas equações de , e nos dão o vetor diretor. Assim, o vetor diretor é:
Passo 3
Sabemos que se um plano é perpendicular a uma reta, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Ou seja, o vetor normal do plano será igual ao vetor diretor da reta:
Passo 4
A equação geral de um plano é dada por:
onde é o vetor normal do plano e é um ponto que pertence ao plano.
Passo 5
Como não foi dado um ponto específico pelo qual o plano deve passar, podemos escrever a equação geral do plano usando o vetor normal e considerar um ponto genérico . Assim, a equação do plano fica:
onde é uma constante que determina a posição do plano no espaço.