Usando o método de eliminação Gaussiana, resolva o sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação Gaussiana. O que vamos precisar aqui são manipulações de linhas para simplificar o sistema até conseguir encontrar os valores de , e . Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, facilitando a resolução. Começamos pelo primeiro elemento da primeira linha, que já está bom (2). Agora, vamos eliminar o das outras linhas.

Passo 4

Para eliminar o da segunda linha, somamos a primeira linha à segunda:
Linha2 + Linha1:
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Agora, eliminamos o da terceira linha. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira:
Linha3 - 3 × Linha1:
Então, a terceira linha fica:

Passo 6

Percebeu? A segunda e a terceira linhas ficaram iguais. Agora, nossa matriz aumentada está assim:
Isso significa que temos apenas duas equações independentes.

Passo 7

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por -7 para facilitar:
Fica:

Passo 8

Nosso sistema agora está assim:
Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 9

Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:

Passo 10

Multiplicamos toda a equação por 7 para eliminar os denominadores:
Subtraindo 3 de ambos os lados:

Passo 11

Agora, resolvemos para :

Passo 12

Portanto, temos as soluções em termos de :
Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor que atribuirmos a .

Resposta

As soluções do sistema são:

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determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta
Considere a matriz . Resolva o sistema ,
onde e
Seja tal que . Calcule .
Seja tal que . Calcule .