(2,5) Usando o método de eliminação Gaussiana, resolva o sistema
c2 x-y+z=1 -2 x-6 y+3 z=2 6 x-10 y+7 z=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação Gaussiana. O que vamos precisar aqui são manipulações de linhas para simplificar o sistema até conseguir encontrar os valores de , e . Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:
2 & -1 & 1 & | & 1 -2 & -6 & 3 & | & 2 6 & -10 & 7 & | & 6

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, facilitando a resolução. Começamos pelo primeiro elemento da primeira linha, que já está bom (2). Agora, vamos eliminar o das outras linhas.

Passo 4

Para eliminar o (-2) + 2 = 0 (-6) + (-1) = -7 3 + 1 = 4 2 + 1 = 3 da segunda linha, somamos a primeira linha à segunda:
Linha2 + Linha1:
0 -7 4 | 3
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Agora, eliminamos o 6 - (3 times 2) = 0 -10 - (3 times -1) = -7 7 - (3 times 1) = 4 6 - (3 times 1) = 3 da terceira linha. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira:
Linha3 - 3 × Linha1:
0 -7 4 | 3
Então, a terceira linha fica:

Passo 6

Percebeu? A segunda e a terceira linhas ficaram iguais. Agora, nossa matriz aumentada está assim:
2 & -1 & 1 & | & 1 0 & -7 & 4 & | & 3 0 & -7 & 4 & | & 3
Isso significa que temos apenas duas equações independentes.

Passo 7

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por -7 para facilitar:
0-7 -7-7 4-7 | 3-7
Fica:
0 1 -47 | -37

Passo 8

Nosso sistema agora está assim:
2x - y + z = 1 y - 47z = -37
Vamos resolver a segunda equação para y = 47z - 37 :

Passo 9

Agora, substituímos 2x - ( 47z - 37 ) + z = 1 na primeira equação:
2x - 47z + 37 + z = 1 2x + ( -47 + 1 )z + 37 = 1 2x + 37z + 37 = 1
Simplificando:

Passo 10

Multiplicamos toda a equação por 7 para eliminar os denominadores:
14x + 3z + 3 = 7
Subtraindo 3 de ambos os lados:
14x + 3z = 4

Passo 11

Agora, resolvemos para 14x = 4 - 3z x = 4 - 3z14 = 2 - 32z7 :

Passo 12

Portanto, temos as soluções em termos de x = 2 - 32z7, y = 47z - 37, z = z :
Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor que atribuirmos a .

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 2 - 32z7, y = 47z - 37, z in R

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