Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (k) contém a reta e é paralelo à reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que contém a reta e que seja paralelo à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos e retas no espaço, além de usar vetores para encontrar a normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um ponto que está na reta . Olhando a equação da reta , percebemos que quando o parâmetro é zero, os valores de são:
Então, um ponto na reta é .
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores das retas e .
Para a reta :
A equação pode ser escrita como:
O vetor diretor de é .
Para a reta :
A equação pode ser reescrita como:
O vetor diretor de é .
Passo 4
Como o plano deve conter a reta e ser paralelo à reta , os vetores e devem estar contidos no plano. Para encontrar a normal do plano, precisamos de um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores. Isso é feito através do produto vetorial.
Calculando o produto vetorial :
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 3:
Passo 5
Com a normal 3(x - 1) - 2(y - 0) - 2(z - 1) = 0 e o ponto 3x - 3 - 2y - 2z + 2 = 0 3x - 2y - 2z -1 = 0 no plano, usamos a equação geral do plano: