Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (k) contém a reta r: x-12=y2=z-1 e é paralelo à reta s: x-32=2-y=z-44.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que contém a reta e que seja paralelo à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de planos e retas no espaço, além de usar vetores para encontrar a normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que está na reta x = 1 + 2 cdot 0 = 1 y = 0 z = 1 + 0 = 1 . Olhando a equação da reta , percebemos que quando o parâmetro é zero, os valores de são:
Então, um ponto na reta é .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores das retas x-12 = y2 = z-1 = t e x-32 = 2 - y1 = z-44 = t .
Para a reta :
A equação pode ser escrita como:
O vetor diretor de é .
Para a reta :
A equação pode ser reescrita como:
O vetor diretor de é .

Passo 4

Como o plano deve conter a reta n = i & j & k 2 & 2 & 1 2 & -1 & 4 = i(2 cdot 4 - 1 cdot (-1)) - j(2 cdot 4 - 1 cdot 2) + k(2 cdot (-1) - 2 cdot 2) = i(8 + 1) - j(8 - 2) + k(-2 - 4) = 9i - 6j - 6k Rightarrow n = lang<= 9, -6, -6 rang<= e ser paralelo à reta n = lang<= 3, -2, -2 rang<= , os vetores e devem estar contidos no plano. Para encontrar a normal do plano, precisamos de um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores. Isso é feito através do produto vetorial.
Calculando o produto vetorial :
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 3:

Passo 5

Com a normal 3(x - 1) - 2(y - 0) - 2(z - 1) = 0 e o ponto 3x - 3 - 2y - 2z + 2 = 0 3x - 2y - 2z -1 = 0 no plano, usamos a equação geral do plano:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é .

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