Questão 2 - (2,0): Seja o operador linear assim definido na base canônica por
(b) - : Mostre que é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar que a função linear é um isomorfismo. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e propriedades de isomorfismo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma transformação linear um isomorfismo, que basicamente significa que ela é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz na base canônica. Sabemos que é definido por como ela age sobre os vetores da base:
Então, a matriz de será:
Passo 3
Agora, para verificar se det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 3) - 2 cdot (-1 cdot 1 - (-1) cdot 3) + 3 cdot (-1 cdot 3 - 2 cdot (-1)) é um isomorfismo, precisamos ver se essa matriz det(A) = 1 cdot (2 - 9) - 2 cdot (-1 - (-3)) + 3 cdot (-3 - (-2)) é invertível. Uma maneira fácil de fazer isso é calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível, e portanto, det(A) = 1 cdot (-7) - 2 cdot (2) + 3 cdot (-1) é um isomorfismo.
Vamos calcular o determinante de det(A) = -7 - 4 - 3 = -14 :
Simplificando cada parte:
Passo 4
O determinante de é , que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é invertível. Como a transformação linear pode ser representada por uma matriz invertível, concluímos que é um isomorfismo.