Questão 2 - (2,0): Seja F: R^3 R^3 o operador linear assim definido na base canônica por
F(1,0,0)=(1,-1,-1), F(0,1,0)=(2,2,3), F(0,0,1)=(3,3,1)
(b) - (1,0) : Mostre que F é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para mostrar que a função linear é um isomorfismo. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e propriedades de isomorfismo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma transformação linear um isomorfismo, que basicamente significa que ela é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação F(1,0,0) = (1, -1, -1), F(0,1,0) = (2, 2, 3), F(0,0,1) = (3, 3, 1) como uma matriz na base canônica. Sabemos que A = 1 & 2 & 3 -1 & 2 & 3 -1 & 3 & 1 é definido por como ela age sobre os vetores da base:
Então, a matriz de será:

Passo 3

Agora, para verificar se det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 3) - 2 cdot (-1 cdot 1 - (-1) cdot 3) + 3 cdot (-1 cdot 3 - 2 cdot (-1)) é um isomorfismo, precisamos ver se essa matriz det(A) = 1 cdot (2 - 9) - 2 cdot (-1 - (-3)) + 3 cdot (-3 - (-2)) é invertível. Uma maneira fácil de fazer isso é calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível, e portanto, det(A) = 1 cdot (-7) - 2 cdot (2) + 3 cdot (-1) é um isomorfismo.
Vamos calcular o determinante de det(A) = -7 - 4 - 3 = -14 :
Simplificando cada parte:

Passo 4

O determinante de é , que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é invertível. Como a transformação linear pode ser representada por uma matriz invertível, concluímos que é um isomorfismo.

Resposta

A transformação é um isomorfismo.

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Questão 2 - (2,0): Seja F: R^3 R^3 o operador linear assim definido na base canônica por
F(1,0,0)=(1,-1,-1), F(0,1,0)=(2,2,3), F(0,0,1)=(3,3,1)
(a) - (1,0): Mostre que F é injetora.
Seja F: R^3 R^2 a transformação linear dada por F(x, y, z)=(x+y-z, 2 x-y+z).
Dar uma base e a dimensão de Im(F).
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (e) passa pelos pontos A=(2,1,5), B=(3,1,3) e C=(4,2,3).
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (k) contém a reta r: x-12=y2=z-1 e é paralelo à reta s: x-32=2-y=z-44.