Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (e) passa pelos pontos e .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e . A matéria aqui é geometria analítica, mais especificamente sobre planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar vetores, produto vetorial e a fórmula geral da equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. A gente pode fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos chamar:
Esses dois vetores, e , estão no plano que a gente quer encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos achar um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular a ambos e . Para isso, usamos o produto vetorial entre e .
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal 2(x - 2) - 2(y - 1) + 1(z - 5) = 0 e o ponto 2x - 4 - 2y + 2 + z - 5 = 0 , podemos usar a fórmula geral da equação do plano: