Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (e) passa pelos pontos A=(2,1,5), B=(3,1,3) e C=(4,2,3).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e . A matéria aqui é geometria analítica, mais especificamente sobre planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar vetores, produto vetorial e a fórmula geral da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. A gente pode fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos chamar:
AB = B - A = (3-2, 1-1, 3-5) = (1, 0, -2)
AC = C - A = (4-2, 2-1, 3-5) = (2, 1, -2)
Esses dois vetores, e , estão no plano que a gente quer encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos achar um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular a ambos n = AB times AC = i & j & k 1 & 0 & -2 2 & 1 & -2 e n = i(0 cdot (-2) - (-2) cdot 1) - j(1 cdot (-2) - (-2) cdot 2) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 2) . Para isso, usamos o produto vetorial entre n = i(0 + 2) - j(-2 + 4) + k(1 - 0) = 2i - 2j + 1k e .
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal 2(x - 2) - 2(y - 1) + 1(z - 5) = 0 e o ponto 2x - 4 - 2y + 2 + z - 5 = 0 , podemos usar a fórmula geral da equação do plano:
2x - 2y + z - 7 = 0
Vamos simplificar isso:

Resposta

A equação geral do plano é:
2x - 2y + z - 7 = 0

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