Determinar equações paramétricas e uma equação geral do plano que
(b) Passa pelo ponto e contém a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas e a equação geral de um plano que passa pelo ponto x = 1 - t y = 2 + 4t z = t e que contém a reta definida por:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com planos no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como determinar um plano a partir de um ponto e uma reta que o contém.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o plano contém a reta . Isso quer dizer que todos os pontos da reta também estão no plano que estamos procurando. As equações paramétricas da reta nos dão um jeito de representar qualquer ponto dessa reta usando o parâmetro .
Passo 3
Vamos identificar um ponto qualquer da reta x = 1 - 0 = 1 y = 2 + 4(0) = 2 z = 0 . Quando :
Então, o ponto está na reta e, portanto, também está no plano que buscamos.
Passo 4
Agora, precisamos de dois vetores que estejam no plano para poder determinar suas equações. Como já temos o ponto AP = P - A = (2-1, 4-2, 3-0) = (1, 2, 3) e o ponto no plano, podemos formar um vetor que liga a :
Esse é um dos vetores no plano.
Passo 5
Além disso, a reta v = (-1, 4, 1) nos dá um vetor direção da própria reta, que também está no plano. Observando as equações paramétricas de , o vetor direção é dado pelos coeficientes de :
Agora temos dois vetores no plano: e .
Passo 6
Para encontrar a equação geral do plano, precisamos determinar um vetor normal n = AP times v ao plano. Isso podemos fazer calculando o produto vetorial entre n = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 4 & 1 = i(2 cdot 1 - 3 cdot 4) - j(1 cdot 1 - 3 cdot (-1)) + k(1 cdot 4 - 2 cdot (-1)) = i(2 - 12) - j(1 + 3) + k(4 + 2) = i(-10) - j(4) + k(6) n = (-10, -4, 6) e n = (-5, -2, 3) :
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 2:
Passo 7
Agora que temos o vetor normal -5(x - 2) - 2(y - 4) + 3(z - 3) = 0 e um ponto -5x + 10 - 2y + 8 + 3z - 9 = 0 -5x - 2y + 3z + 9 = 0 no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
5x + 2y - 3z - 9 = 0
Distribuindo e simplificando:
Ou, multiplicando todos os termos por -1 para deixar de forma mais comum:
Passo 8
Para encontrar as equações paramétricas do plano, precisamos de um ponto e dois vetores diretores. Já temos o ponto x = 2 + s(1) + t(-1) y = 4 + s(2) + t(4) z = 3 + s(3) + t(1) e os vetores e . Assim, as equações paramétricas ficam: