Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
(f) passa pelo ponto E=(1,2,2) e contém os vetores u=(2,-1,1) e v=(-3,1,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e contém os vetores e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra, como vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Um vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Como temos dois vetores que estão no plano ( e ), podemos achar o vetor normal fazendo o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 2 & -1 & 1 -3 & 1 & 2 :
u times v = i((-1)(2) - (1)(1)) - j((2)(2) - (1)(-3)) + k((2)(1) - (-1)(-3))
Calculando o determinante:
= i(-2 - 1) - j(4 + 3) + k(2 - 3)
= -3i - 7j - k
Portanto, o vetor normal é .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto que está no plano, podemos usar a equação do plano na forma vetorial:
onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto conhecido.

Passo 5

Substituindo os valores:
-3(x - 1) -7(y - 2) -1(z - 2) = 0
Vamos distribuir os termos:
-3x + 3 -7y + 14 -z + 2 = 0
Simplificando:
-3x -7y -z + 19 = 0
Podemos multiplicar toda a equação por 3x + 7y + z - 19 = 0 para deixar os coeficientes positivos:

Resposta

A equação geral do plano é:
3x + 7y + z - 19 = 0

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