Sejam A=(1,0,-1), B=(1,2,0), C=(2,2,-1) e D=(1,4,1).
(a) Verifique se os pontos A, B e C são colineares;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. O exercício pede para verificar se os pontos , e estão na mesma linha, ou seja, se eles são colineares. Para isso, vamos usar um conteúdo de vetores e colinearidade. Precisamos calcular os vetores que ligam esses pontos e ver se um é múltiplo do outro.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor AB = B - A = (1 - 1, 2 - 0, 0 - (-1)) = (0, 2, 1) , que vai de até . Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor AC = C - A = (2 - 1, 2 - 0, -1 - (-1)) = (1, 2, 0) , que vai de até . Fazemos a mesma subtração:

Passo 4

Para verificar se os pontos são colineares, precisamos ver se o vetor AB = k cdot AC é múltiplo do vetor . Isso significa que deve existir um número tal que:
Vamos comparar as componentes dos dois vetores para encontrar esse .

Passo 5

Vamos igualar as componentes correspondentes:
0 = k cdot 1 (1) 2 = k cdot 2 (2) 1 = k cdot 0 (3)
Da equação (1), temos . Mas se substituirmos na equação (2), temos , o que não é verdade. Além disso, na equação (3), teríamos , o que também é falso.

Resposta

Como não existe um valor de que satisfaz todas as equações, os pontos , e não são colineares.

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