Sejam A=(1,0,-1), B=(1,2,0), C=(2,2,-1) e D=(1,4,1).
(a) Verifique se os pontos A, B e C são colineares;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. O exercício pede para verificar se os pontos , e estão na mesma linha, ou seja, se eles são colineares. Para isso, vamos usar um conteúdo de vetores e colinearidade. Precisamos calcular os vetores que ligam esses pontos e ver se um é múltiplo do outro.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor AB = B - A = (1 - 1, 2 - 0, 0 - (-1)) = (0, 2, 1) , que vai de até . Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor AC = C - A = (2 - 1, 2 - 0, -1 - (-1)) = (1, 2, 0) , que vai de até . Fazemos a mesma subtração:

Passo 4

Para verificar se os pontos são colineares, precisamos ver se o vetor AB = k cdot AC é múltiplo do vetor . Isso significa que deve existir um número tal que:
Vamos comparar as componentes dos dois vetores para encontrar esse .

Passo 5

Vamos igualar as componentes correspondentes:
0 = k cdot 1 (1) 2 = k cdot 2 (2) 1 = k cdot 0 (3)
Da equação (1), temos . Mas se substituirmos na equação (2), temos , o que não é verdade. Além disso, na equação (3), teríamos , o que também é falso.

Resposta

Como não existe um valor de que satisfaz todas as equações, os pontos , e não são colineares.

Exercícios relacionados

Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
(f) passa pelo ponto E=(1,2,2) e contém os vetores u=(2,-1,1) e v=(-3,1,2);
Sejam A=(1,1), B=(3,2) e C=(-1,2).
(a) Determine a área do triângulo de vértices A, B e C;
Sejam as matrizes A=[cccc1 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 & 2], B=[cc1 & 0 2 & 1 0 & -1 1 & 1] e In a matriz identidade de ordem n. Calcule, caso exista: A^T B^T
Sejam as matrizes A=[cccc1 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 & 2], B=[cc1 & 0 2 & 1 0 & -1 1 & 1] e In a matriz identidade de ordem n. Calcule, caso exista: I2-A B