Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse problema envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos utilizar o método das equações lineares para encontrar a solução. Precisaremos reorganizar a equação para identificar os coeficientes e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por :
Isso simplifica para:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então e . Substituindo na integral:
Voltando para :
Para simplificar, consideramos (vamos assumir isso para a solução):

Passo 4

Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante :
Simplificando:
Aqui, utilizamos a propriedade que, após multiplicar pelo fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral à direita, fazemos a substituição , :
Portanto:

Passo 6

Agora, isolamos :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Resolvendo para :

Resposta

A solução particular da equação dada, satisfazendo a condição inicial , é:

Exercícios relacionados

Descreva o conjunto dado com uma única equação ou com um par de equações
(a) O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
(b) O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
© O plano contendo o ponto paralelo ao plano .
(d) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(e) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(f) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(g) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(h) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(i) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo .
(j) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto perpendicular ao eixo encontra o esfera de raio 5 centrada na origem.
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
(a) passa pelo ponto e é ortogonal ao vetor
(b) possui o ponto e é paralelo aos vetores e
© passa pelos pontos e
(d) passa pelo ponto e contém os vetores e
(e) possui o ponto e é paralelo ao plano
(f) contém as retas e
(g) contém as retas e
(h) contém a reta e é paralelo à reta .
Encontre o domínio (máximo) da função vetorial
Mostre que é ortogonal a sempre que é uma constante. Dada uma função derivável até pelo menos a prímeira ordem: