Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse problema envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos utilizar o método das equações lineares para encontrar a solução. Precisaremos reorganizar a equação para identificar os coeficientes e aplicar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por
:
Isso simplifica para:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
e
. Substituindo na integral:
Voltando para
:
Para simplificar, consideramos
(vamos assumir isso para a solução):
Passo 4
Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante
:
Simplificando:
Aqui, utilizamos a propriedade que, após multiplicar pelo fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral à direita, fazemos a substituição
,
:
Portanto:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução particular da equação dada, satisfazendo a condição inicial
, é:
Exercícios relacionados
Descreva o conjunto dado com uma única equação ou com um par de equações
(a) O plano contendo o ponto paralelo ao plano
.
(b) O plano contendo o ponto paralelo ao plano
.
© O plano contendo o ponto paralelo ao plano
.
(d) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(e) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(f) O círculo de raio 2 centrado em e posicionado sobre o plano
(g) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo
.
(h) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo
.
(i) A reta que passa pelo ponto paralela ao eixo
.
(j) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto perpendicular ao eixo
encontra o esfera de raio 5 centrada na origem.
(a) O plano contendo o ponto
(b) O plano contendo o ponto
© O plano contendo o ponto
(d) O círculo de raio 2 centrado em
(e) O círculo de raio 2 centrado em
(f) O círculo de raio 2 centrado em
(g) A reta que passa pelo ponto
(h) A reta que passa pelo ponto
(i) A reta que passa pelo ponto
(j) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
(a) passa pelo ponto e é ortogonal ao vetor
(b) possui o ponto e é paralelo aos vetores
e
© passa pelos pontos e
(d) passa pelo ponto e contém os vetores
e
(e) possui o ponto e é paralelo ao plano
(f) contém as retas e
(g) contém as retas e
(h) contém a reta e é paralelo à reta
.
(a) passa pelo ponto
(b) possui o ponto
© passa pelos pontos
(d) passa pelo ponto
(e) possui o ponto
(f) contém as retas
(g) contém as retas
(h) contém a reta
Encontre o domínio (máximo) da função vetorial
Mostre que
é ortogonal a
sempre que
é uma constante. Dada uma função
derivável até pelo menos a prímeira ordem: