Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse problema envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos utilizar o método das equações lineares para encontrar a solução. Precisaremos reorganizar a equação para identificar os coeficientes e aplicar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por
:
Isso simplifica para:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
e
. Substituindo na integral:
Voltando para
:
Para simplificar, consideramos
(vamos assumir isso para a solução):
Passo 4
Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante
:
Simplificando:
Aqui, utilizamos a propriedade que, após multiplicar pelo fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral à direita, fazemos a substituição
,
:
Portanto:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução particular da equação dada, satisfazendo a condição inicial
, é: