Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. (1-x) y' = x(y+1), y(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse problema envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos utilizar o método das equações lineares para encontrar a solução. Precisaremos reorganizar a equação para identificar os coeficientes e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por :
Isso simplifica para:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
Substituindo P(x):
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então e . Substituindo na integral:
Voltando para x:
Para simplificar, consideramos (vamos assumir isso para a solução):

Passo 4

Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante mu(x):
Simplificando:
Aqui, utilizamos a propriedade que, após multiplicar pelo fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
Para resolver a integral à direita, fazemos a substituição , :
Portanto:

Passo 6

Agora, isolamos y:
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:
Resolvendo para C:

Resposta

A solução particular da equação dada, satisfazendo a condição inicial , é:

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