Questão 2 - (2,0): Seja F: R^3 R^3 o operador linear assim definido na base canônica por
F(1,0,0)=(1,-1,-1), F(0,1,0)=(2,2,3), F(0,0,1)=(3,3,1)
(a) - (1,0): Mostre que F é injetora.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido pela base canônica. A parte (a) da questão quer que mostremos que é injetora. Isso significa que queremos provar que cada vetor no espaço de chegada é mapeado por no máximo um vetor no espaço de partida, ou seja, não “amontoa” diferentes vetores em um único vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear injetor. Um operador linear é injetor se a única solução para for . Isso significa que o núcleo (ou kernel) de contém apenas o vetor zero. Se conseguirmos provar isso, teremos mostrado que é injetora.

Passo 3

Para facilitar nossa vida, vamos representar o operador linear A = 1 & 2 & 3 -1 & 2 & 3 -1 & 3 & 1 como uma matriz. Dado que está definido na base canônica, cada imagem dos vetores da base canônica se torna uma coluna da matriz de . Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a única solução para é . Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, isso significa que é invertível e, portanto, é injetora.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 3) - 2 cdot (-1 cdot 1 - 3 cdot (-1)) + 3 cdot (-1 cdot 3 - 2 cdot (-1)) :
= 1 cdot (2 - 9) - 2 cdot (-1 - (-3)) + 3 cdot (-3 + 2)
Simplificando cada parte:
= 1 cdot (-7) - 2 cdot (2) + 3 cdot (-1)
= -7 - 4 - 3 = -14

Passo 6

O determinante de é , que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é invertível.

Passo 7

Como a matriz é invertível, o operador linear é injetora. Portanto, mostramos que não amontoa diferentes vetores em um único vetor no espaço de chegada.

Resposta

O operador linear é injetora porque o determinante da sua matriz associada é diferente de zero.

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