Questão 2 - (2,0): Seja o operador linear assim definido na base canônica por
(a) - (1,0): Mostre que é injetora.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido pela base canônica. A parte (a) da questão quer que mostremos que é injetora. Isso significa que queremos provar que cada vetor no espaço de chegada é mapeado por no máximo um vetor no espaço de partida, ou seja, não “amontoa” diferentes vetores em um único vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear injetor. Um operador linear é injetor se a única solução para for . Isso significa que o núcleo (ou kernel) de contém apenas o vetor zero. Se conseguirmos provar isso, teremos mostrado que é injetora.
Passo 3
Para facilitar nossa vida, vamos representar o operador linear como uma matriz. Dado que está definido na base canônica, cada imagem dos vetores da base canônica se torna uma coluna da matriz de . Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a única solução para é . Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, isso significa que é invertível e, portanto, é injetora.
O determinante de é , que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é invertível.
Passo 7
Como a matriz é invertível, o operador linear é injetora. Portanto, mostramos que não amontoa diferentes vetores em um único vetor no espaço de chegada.
Resposta
O operador linear é injetora porque o determinante da sua matriz associada é diferente de zero.