Determinar uma equação geral e segmentária do plano definida pelo vetor normal e passando pelos pontos indicados
a)
e
b)
e
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação geral e a equação segmentária de um plano. O plano é definido por um vetor normal e passa por um ponto específico. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais precisamente o estudo dos planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que é um vetor normal e como ele se relaciona com a equação do plano, além de saber como utilizar as coordenadas do ponto dado.
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
- Vetor normal:
- Ponto dado:
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral do plano pode ser escrita como:
onde
são as componentes do vetor normal
.
Passo 3
Substituindo os valores do vetor normal na equação geral, temos:
Ou simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, usamos o ponto dado
e substituímos na equação:
Calculando passo a passo:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, a equação geral do plano fica:
Ou, se preferir, multiplicando todos os termos por -1 para facilitar a leitura:
Passo 6
Agora, vamos determinar a equação segmentária do plano. A equação segmentária mostra onde o plano intercepta os eixos coordenados. Para encontrar esses pontos de interseção, fazemos dois deles iguais a zero e resolvemos para o terceiro.
Vamos considerar a forma geral da equação segmentária:
Onde
,
, e
são as interseções nos eixos
,
e
respectivamente.
Passo 7
Usando a equação geral
, vamos rearranjar para a forma segmentária:
Dividindo todos os termos por 5:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Então, a equação segmentária fica:
Passo 8
Simplificando os denominadores:
Pode ser reescrita como:
Multiplicando todos os termos por 5 para eliminar os denominadores:
Mas para manter na forma segmentária, podemos expressar cada termo separado:
Ou de forma mais elegante:
Passo 9
Agora, vamos resolver a parte b):
- Vetor normal:
- Ponto dado:
Passo 10
Usando a equação geral do plano:
Substituindo os valores do vetor normal:
Passo 11
Para encontrar
, substituímos o ponto
na equação:
Calculando:
Passo 12
Com
, a equação geral do plano fica:
Passo 13
Agora, vamos determinar a equação segmentária. Usando a equação geral
, rearranjamos para a forma segmentária:
Dividindo todos os termos por 6:
Simplificando:
Passo 14
Então, a equação segmentária fica:
Resposta
b)
- Equação Geral do Plano:
- Equação Segmentária do Plano:
Final
Prontinho! A gente determinou tanto a equação geral quanto a equação segmentária dos planos para as duas situações apresentadas.