Determinar uma equação geral e segmentária do plano definida pelo vetor normal e passando pelos pontos indicados
a) n=(-1,3,4) e A(2,-3,4)
b) n=(2,-1,1) e A(1,-1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação geral e a equação segmentária de um plano. O plano é definido por um vetor normal e passa por um ponto específico. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais precisamente o estudo dos planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que é um vetor normal e como ele se relaciona com a equação do plano, além de saber como utilizar as coordenadas do ponto dado.

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
  • Vetor normal: ax + by + cz + d = 0
  • Ponto dado:
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral do plano pode ser escrita como:
onde são as componentes do vetor normal .

Passo 3

Substituindo os valores do vetor normal na equação geral, temos:
-1 cdot x + 3 cdot y + 4 cdot z + d = 0
Ou simplificando:
- x + 3y + 4z + d = 0

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de - (2) + 3(-3) + 4(4) + d = 0 . Para isso, usamos o ponto dado -2 - 9 + 16 + d = 0 e substituímos na equação:
5 + d = 0
Calculando passo a passo:
d = -5

Passo 5

Com o valor de - x + 3y + 4z - 5 = 0 encontrado, a equação geral do plano fica:
x - 3y - 4z + 5 = 0
Ou, se preferir, multiplicando todos os termos por -1 para facilitar a leitura:

Passo 6

Agora, vamos determinar a equação segmentária do plano. A equação segmentária mostra onde o plano intercepta os eixos coordenados. Para encontrar esses pontos de interseção, fazemos dois deles iguais a zero e resolvemos para o terceiro.
Vamos considerar a forma geral da equação segmentária:
xa + yb + zc = 1
Onde , , e são as interseções nos eixos , e respectivamente.

Passo 7

Usando a equação geral x - 3y - 4z = -5 , vamos rearranjar para a forma segmentária:
x5 - 3y5 - 4z5 = -1
Dividindo todos os termos por 5:
x-5 + 3y5 + 4z5 = 1
Multiplicando ambos os lados por -1:
x-5 + y53 + z54 = 1
Então, a equação segmentária fica:

Passo 8

Simplificando os denominadores:
x-5 + y53 + z54 = 1
Pode ser reescrita como:
-x5 + 3y5 + 4z5 = 1
Multiplicando todos os termos por 5 para eliminar os denominadores:
- x + 3y + 4z = 5
Mas para manter na forma segmentária, podemos expressar cada termo separado:
x-5 + y53 + z54 = 1
Ou de forma mais elegante:
x-5 + y53 + z54 = 1

Passo 9

Agora, vamos resolver a parte b):
  • Vetor normal:
  • Ponto dado:

Passo 10

Usando a equação geral do plano:
ax + by + cz + d = 0
Substituindo os valores do vetor normal:
2x - y + z + d = 0

Passo 11

Para encontrar 2(1) - (-1) + 1(3) + d = 0 , substituímos o ponto 2 + 1 + 3 + d = 0 na equação:
6 + d = 0
Calculando:
d = -6

Passo 12

Com 2x - y + z - 6 = 0 , a equação geral do plano fica:

Passo 13

Agora, vamos determinar a equação segmentária. Usando a equação geral 2x - y + z = 6 , rearranjamos para a forma segmentária:
2x6 - y6 + z6 = 1
Dividindo todos os termos por 6:
x3 - y6 + z6 = 1
Simplificando:

Passo 14

Então, a equação segmentária fica:
x3 - y6 + z6 = 1

Resposta

b)
  • Equação Geral do Plano:
  • Equação Segmentária do Plano:

Final

Prontinho! A gente determinou tanto a equação geral quanto a equação segmentária dos planos para as duas situações apresentadas.

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