Determinar uma equação geral e segmentária do plano definida pelo vetor normal e passando pelos pontos indicados a) e b) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação geral e a equação segmentária de um plano. O plano é definido por um **vetor normal** e passa por um **ponto específico**. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais precisamente o estudo dos planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que é um vetor normal e como ele se relaciona com a equação do plano, além de saber como utilizar as coordenadas do ponto dado.

Passo 2

Vamos começar com a parte **a)**: - **Vetor normal**: - **Ponto dado**: Primeiro, vamos lembrar que a **equação geral do plano** pode ser escrita como: onde são as componentes do vetor normal .

Passo 3

Substituindo os valores do vetor normal na equação geral, temos: Ou simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, usamos o ponto dado e substituímos na equação: Calculando passo a passo:

Passo 5

Com o valor de encontrado, a **equação geral do plano** fica: Ou, se preferir, multiplicando todos os termos por -1 para facilitar a leitura:

Passo 6

Agora, vamos determinar a **equação segmentária** do plano. A equação segmentária mostra onde o plano intercepta os eixos coordenados. Para encontrar esses pontos de interseção, fazemos dois deles iguais a zero e resolvemos para o terceiro. Vamos considerar a forma geral da equação segmentária: Onde , , e são as interseções nos eixos , e respectivamente.

Passo 7

Usando a equação geral , vamos rearranjar para a forma segmentária: Dividindo todos os termos por 5: Multiplicando ambos os lados por -1: Então, a equação segmentária fica:

Passo 8

Simplificando os denominadores: Pode ser reescrita como: Multiplicando todos os termos por 5 para eliminar os denominadores: Mas para manter na forma segmentária, podemos expressar cada termo separado: Ou de forma mais elegante:

Passo 9

Agora, vamos resolver a parte **b)**: - **Vetor normal**: - **Ponto dado**:

Passo 10

Usando a equação geral do plano: Substituindo os valores do vetor normal:

Passo 11

Para encontrar , substituímos o ponto na equação: Calculando:

Passo 12

Com , a **equação geral do plano** fica:

Passo 13

Agora, vamos determinar a **equação segmentária**. Usando a equação geral , rearranjamos para a forma segmentária: Dividindo todos os termos por 6: Simplificando:

Passo 14

Então, a **equação segmentária** fica:

Resposta

**b)** - **Equação Geral do Plano**: - **Equação Segmentária do Plano**: # Final Prontinho! A gente determinou tanto a equação geral quanto a equação segmentária dos planos para as duas situações apresentadas.

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