Sejam
e
e
um subespaço de
. (1,0 ponto) Determine o(s) gederado(es) de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os geradores do subespaço
dentro de
. Estamos lidando com Álgebra Linear, especificamente com subespaços vetoriais e como descrevê-los usando geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um gerador e como identificar vetores que “geram” todo o subespaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é definido o subespaço
. Segundo o enunciado,
é formado por todos os vetores
em
que satisfazem as condições:
Isso significa que, em qualquer vetor de
, os componentes
,
e
são iguais. Então podemos escrever qualquer vetor
em
como:
onde
é um número real qualquer.
Passo 3
Agora, vamos expressar esse vetor de uma forma que facilite identificar os geradores. Podemos fatorar o
:
Aqui,
é um escalar e
é um vetor fixo. Isso significa que todo vetor em
é uma múltiplo escalar do vetor
.
Passo 4
Na Álgebra Linear, um gerador de um subespaço é um conjunto de vetores tal que qualquer vetor do subespaço pode ser expresso como combinação linear desses vetores. No nosso caso, vimos que todo vetor
em
pode ser escrito como
.
Isso indica que o vetor
por si só já é suficiente para “gerar” todo o subespaço
, já que multiplicando ele por qualquer escalar
, obtemos qualquer vetor em
.
Resposta
O subespaço
é gerado pelo vetor
. Ou seja,
gera
.