Sejam V=R^3 e W=(x, y, z) in R^3: x=z e y=z um subespaço de V. (1,0 ponto) Determine o(s) gederado(es) de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os geradores do subespaço dentro de . Estamos lidando com Álgebra Linear, especificamente com subespaços vetoriais e como descrevê-los usando geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um gerador e como identificar vetores que “geram” todo o subespaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é definido o subespaço x = z e y = z . Segundo o enunciado, w = (z, z, z) é formado por todos os vetores em que satisfazem as condições:
Isso significa que, em qualquer vetor de , os componentes , e são iguais. Então podemos escrever qualquer vetor em como:
onde é um número real qualquer.

Passo 3

Agora, vamos expressar esse vetor de uma forma que facilite identificar os geradores. Podemos fatorar o w = z cdot (1, 1, 1) :
Aqui, é um escalar e é um vetor fixo. Isso significa que todo vetor em é uma múltiplo escalar do vetor .

Passo 4

Na Álgebra Linear, um gerador de um subespaço é um conjunto de vetores tal que qualquer vetor do subespaço pode ser expresso como combinação linear desses vetores. No nosso caso, vimos que todo vetor em pode ser escrito como .
Isso indica que o vetor por si só já é suficiente para “gerar” todo o subespaço , já que multiplicando ele por qualquer escalar , obtemos qualquer vetor em .

Resposta

O subespaço é gerado pelo vetor . Ou seja, gera .

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