Determine quais das seguintes funções são transformações linęares:
definida por
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, que envolvem propriedades como aditividade e homogeneidade. Vamos precisar aplicar a definição dessas propriedades para verificar se
as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições forem verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar se a função
atende a essas condições.
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Seja
e
. Então:
Por outro lado,
Para que
seja aditiva, as duas expressões acima devem ser iguais. Observamos que
não é igual a
, a menos que
, o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a função
não satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos descoberto que
não é aditiva, vamos verificar a homogeneidade para completar a análise. Tomemos um escalar
e um vetor
:
Por outro lado,
Para que
seja homogênea, as duas expressões devem ser iguais. Notamos que
não é igual a
a menos que
ou
, o que não cobre todos os escalares. Assim,
também não satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Resposta
A função
não é uma transformação linear.