Determine quais das seguintes funções são transformações linęares: definida por .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, que envolvem propriedades como aditividade e homogeneidade. Vamos precisar aplicar a definição dessas propriedades para verificar se as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas condições forem verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Vamos verificar se a função atende a essas condições.
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Seja e . Então:
Por outro lado,
Para que seja aditiva, as duas expressões acima devem ser iguais. Observamos que não é igual a , a menos que , o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a função não satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos descoberto que não é aditiva, vamos verificar a homogeneidade para completar a análise. Tomemos um escalar e um vetor :
Por outro lado,
Para que seja homogênea, as duas expressões devem ser iguais. Notamos que não é igual a a menos que ou , o que não cobre todos os escalares. Assim, também não satisfaz a propriedade de homogeneidade.