Determine quais das seguintes funções são transformações linęares: T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(2 x^2+x y, x).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, que envolvem propriedades como aditividade e homogeneidade. Vamos precisar aplicar a definição dessas propriedades para verificar se as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas condições forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar se a função atende a essas condições.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2)^2 + (x1 + x2)(y1 + y2), x1 + x2) e T(u) + T(v) = (2x1^2 + x1y1, x1) + (2x2^2 + x2y2, x2) = (2x1^2 + x1y1 + 2x2^2 + x2y2, x1 + x2) . Então:
Por outro lado,
Para que seja aditiva, as duas expressões acima devem ser iguais. Observamos que não é igual a , a menos que , o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a função não satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos descoberto que T(cu) = T(cx, cy) = (2(cx)^2 + (cx)(cy), cx) = (2c^2x^2 + c^2xy, cx) não é aditiva, vamos verificar a homogeneidade para completar a análise. Tomemos um escalar cT(u) = c(2x^2 + xy, x) = c(2x^2 + xy), cx = (2c x^2 + c xy, cx) e um vetor :
Por outro lado,
Para que seja homogênea, as duas expressões devem ser iguais. Notamos que não é igual a a menos que ou , o que não cobre todos os escalares. Assim, também não satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

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