Determine quais das seguintes funções são transformações linęares: definida por .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, que envolvem propriedades como aditividade e homogeneidade. Vamos precisar aplicar a definição dessas propriedades para verificar se as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas condições forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar se a função atende a essas condições.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Seja e . Então:
Por outro lado,
Para que seja aditiva, as duas expressões acima devem ser iguais. Observamos que não é igual a , a menos que , o que nem sempre é verdadeiro. Portanto, a função não satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos descoberto que não é aditiva, vamos verificar a homogeneidade para completar a análise. Tomemos um escalar e um vetor :
Por outro lado,
Para que seja homogênea, as duas expressões devem ser iguais. Notamos que não é igual a a menos que ou , o que não cobre todos os escalares. Assim, também não satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Determinar uma equação geral e segmentária do plano definida pelo vetor normal e passando pelos pontos indicados
a) e
b) e
Obter equações reduzidas (na variável ), da reta,
a) Que passa por A (4, 0, -3) e tem a direção de v ;
b) Pelos pontos A e B
c) Dada por
Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que é um autovetor de e encontre o autovalor correspondente.
e .
a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular à e
b) Determine um vetor perpendicular à e e tal que ||