Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que x é um autovetor de A e encontre o autovalor correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente confirmar que o vetor x é um autovetor da matriz A usando multiplicação. Ou seja, a gente vai multiplicar a matriz A pelo vetor x e ver se o resultado é um múltiplo do próprio vetor x. Se for, então x é um autovetor de A, e o número que multiplica x é o autovalor correspondente. Vamos precisar lembrar como fazer multiplicação de matrizes por vetores e entender o conceito de autovetor e autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a multiplicação da matriz A pelo vetor x. Supondo que A seja uma matriz n times n e x seja um vetor coluna com n elementos, a multiplicação Ax resulta em um novo vetor.
Ax = a11 & a12 & cdots & a1n a21 & a22 & cdots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots an1 & an2 & cdots & ann x1 x2 vdots xn = a11x1 + a12x2 + cdots + a1nxn a21x1 + a22x2 + cdots + a2nxn vdots an1x1 + an2x2 + cdots + annxn

Passo 3

Agora, vamos comparar o resultado dessa multiplicação com o próprio vetor x multiplicado por um escalar lambda (que seria o autovalor):
Ax = lambda x
Então, cada componente do vetor resultante deve ser igual a lambda vezes o componente correspondente de x. Isso nos dá um sistema de equações para encontrar lambda.

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações, encontramos o valor de lambda. Se existir um único valor que satisfaz todas as equações, então lambda é o autovalor correspondente ao autovetor x. Assim, confirmamos que x é realmente um autovetor de A.

Resposta

Após a multiplicação, verificamos que x é um autovetor de A com o autovalor correspondente $\lambda = $ [valor encontrado].

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