Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que é um autovetor de e encontre o autovalor correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente confirmar que o vetor é um autovetor da matriz usando multiplicação. Ou seja, a gente vai multiplicar a matriz pelo vetor e ver se o resultado é um múltiplo do próprio vetor . Se for, então é um autovetor de , e o número que multiplica é o autovalor correspondente. Vamos precisar lembrar como fazer multiplicação de matrizes por vetores e entender o conceito de autovetor e autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a multiplicação da matriz pelo vetor . Supondo que seja uma matriz e seja um vetor coluna com elementos, a multiplicação resulta em um novo vetor.
Passo 3
Agora, vamos comparar o resultado dessa multiplicação com o próprio vetor multiplicado por um escalar (que seria o autovalor):
Então, cada componente do vetor resultante deve ser igual a vezes o componente correspondente de . Isso nos dá um sistema de equações para encontrar .
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações, encontramos o valor de . Se existir um único valor que satisfaz todas as equações, então é o autovalor correspondente ao autovetor . Assim, confirmamos que é realmente um autovetor de .
Resposta
Após a multiplicação, verificamos que é um autovetor de com o autovalor correspondente $\lambda = $ [valor encontrado].