Obter equações reduzidas (na variável x ), da reta,
a) Que passa por A (4, 0, -3) e tem a direção de v (2,4,5);
b) Pelos pontos A (-1,2,3) e B (2,-1,3)
c) Dada por lx=2-t y=3 t z=4 t-5

Passo 1

Vamos resolver as equações reduzidas da reta para as três situações apresentadas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como ponto diretor e parametrização de retas. Precisaremos identificar pontos pela qual a reta passa e o vetor direção.

a) Reta que passa por A (4, 0, -3) e tem direção de v (2, 4, 5)

Passo 2

Primeiro, identificamos o ponto A (4, 0, -3) pela qual a reta passa e o vetor direção v = (2, 4, 5). As equações paramétricas da reta são dadas por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
onde é o ponto inicial e é o vetor direção.

Passo 3

Aplicando os valores de A e v:
x = 4 + 2t y = 0 + 4t z = -3 + 5t

Passo 4

Para obter as equações reduzidas na variável t = x - 42 , resolvemos a primeira equação para y = 4 ( x - 42 ) = 2(x - 4) = 2x - 8 :
z = 5 ( x - 42 ) - 3 = 52(x - 4) - 3 = 5x - 202 - 3 = 5x - 262
Substituímos nas outras duas equações:

Passo 5

As equações reduzidas da reta são:
y = 2x - 8
z = 5x - 262

b) Reta que passa pelos pontos A (-1, 2, 3) e B (2, -1, 3)

Passo 6

Primeiro, calculamos o vetor direção AB = (2 - (-1), -1 - 2, 3 - 3) = (3, -3, 0) subtraindo as coordenadas de A de B:
Simplificando, podemos usar o vetor direção .

Passo 7

Escrevemos as equações paramétricas da reta usando o ponto A (-1, 2, 3) e o vetor direção x = -1 + t y = 2 - t z = 3 + 0t = 3 :

Passo 8

Para obter as equações reduzidas na variável t = x + 1 , resolvemos a primeira equação para y = 2 - (x + 1) = 1 - x :
z = 3
Substituímos nas outras duas equações:

Passo 9

As equações reduzidas da reta são:
y = 1 - x
z = 3

c) Reta dada por:

l x = 2 - t y = 3t z = 4t - 5

Passo 10

Vamos transformar as equações paramétricas para obter as equações reduzidas na variável t = 2 - x . Primeiro, resolvemos a primeira equação para :

Passo 11

Substituímos y = 3(2 - x) = 6 - 3x nas outras duas equações:
z = 4(2 - x) - 5 = 8 - 4x - 5 = 3 - 4x

Resposta

As equações reduzidas das retas são:
a)
y = 2x - 8
z = 5x - 262
b)
y = 1 - x
z = 3
c)
y = 6 - 3x
z = 3 - 4x

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