Determinar a equação da hipérbole cujos focos estão situados no eixo das abscissas, simetricamente situados em relação à origem e sabendo que seus eixos são:
e
. Qual é a excentricidade dessa hipérbole?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir a equação de uma hipérbole que tem os focos no eixo das abscissas (ou seja, no eixo
), simétricos em relação à origem. Além disso, sabemos que os comprimentos dos eixos são
e
. A gente também precisa encontrar a excentricidade dessa hipérbole. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de hipérbole, identificar os valores de
e
, e aplicar a fórmula da excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os valores de
e
. Dá pra ver que:
E também:
Então,
e
.
Passo 3
Agora, como os focos estão no eixo das abscissas, a hipérbole tem um eixo transverso horizontal. A equação padrão de uma hipérbole com centro na origem e eixo horizontal é:
Passo 4
Vamos substituir os valores de
e
na equação padrão:
Então, a equação da hipérbole é:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a excentricidade (
) da hipérbole. A excentricidade mede o quão “esticada” a hipérbole é e é dada pela fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da hipérbole é
e a excentricidade dessa hipérbole é
.
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Sabendo que o ponto
é um dos vértices do quadrado inscrito em uma circunferência de centro
, determine a equação reduzida dessa circunferência.
Reduza cada uma das equações seguintes à forma canônica e identifique e esboce a quádrica que ela representa:
Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.