Determinar a equação da hipérbole cujos focos estão situados no eixo das abscissas, simetricamente situados em relação à origem e sabendo que seus eixos são: 2 a=10 e 2 b=8. Qual é a excentricidade dessa hipérbole?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir a equação de uma hipérbole que tem os focos no eixo das abscissas (ou seja, no eixo ), simétricos em relação à origem. Além disso, sabemos que os comprimentos dos eixos são e . A gente também precisa encontrar a excentricidade dessa hipérbole. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de hipérbole, identificar os valores de e , e aplicar a fórmula da excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os valores de 2a = 10 Rightarrow a = 102 = 5 e 2b = 8 Rightarrow b = 82 = 4 . Dá pra ver que:
E também:
Então, e .

Passo 3

Agora, como os focos estão no eixo das abscissas, a hipérbole tem um eixo transverso horizontal. A equação padrão de uma hipérbole com centro na origem e eixo horizontal é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

Passo 4

Vamos substituir os valores de x^25^2 - y^24^2 = 1 Rightarrow x^225 - y^216 = 1 e x^225 - y^216 = 1 na equação padrão:
Então, a equação da hipérbole é:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a excentricidade ( e = raiz1 + b^2a^2 ) da hipérbole. A excentricidade mede o quão “esticada” a hipérbole é e é dada pela fórmula:
e = raiz1 + 1625 = raiz25 + 1625 = raiz4125 = raiz415
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da hipérbole é e a excentricidade dessa hipérbole é .

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