Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
5 x^2+4 x y+8 y^2-14 x-20 y-19=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de cônica representa a equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas. Vamos analisar os coeficientes da equação e, se for uma cônica regular, transformar a equação para a sua forma canônica em um novo sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação geral de uma cônica é dada por De. No nosso caso:
Para saber qual cônica é essa, calculamos o discriminante :
Como , sabemos que a cônica é uma elipse.

Passo 3

Agora que identificamos que é uma elipse, precisamos eliminar o termo tan(2theta) = BA - C = 45 - 8 = 4-3 = -43 para simplificar a equação. Isso se faz através de uma rotação de eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas de um ângulo 2theta = arctan(-43) Rightarrow theta = 12 arctan(-43) de forma que o termo desapareça. A fórmula para encontrar é:
Então,

Passo 4

Calculando o ângulo theta approx 12 times (-53,13°) approx -26,57° :
Isso significa que vamos girar o sistema de coordenadas no sentido horário para eliminar o termo .

Passo 5

Com a rotação definida, vamos expressar as novas coordenadas x = x'costheta - y'sintheta em função das antigas y = x'sintheta + y'costheta :
costheta approx 0,8944
sintheta approx -0,4472
Substituindo e pelos valores de :

Passo 6

Substituindo na equação original:
5(x'costheta - y'sintheta)^2 + 4(x'costheta - y'sintheta)(x'sintheta + y'costheta) + 8(x'sintheta + y'costheta)^2 - 14(x'costheta - y'sintheta) - 20(x'sintheta + y'costheta) - 19 = 0
Expandindo e simplificando todos os termos, o termo A'x'^2 + C'y'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0 será eliminado, e a equação ficará na forma:

Passo 7

Após simplificar, podemos escrever a equação na forma canônica da elipse. Isso geralmente envolve completar o quadrado para (x' - h)^2a^2 + (y' - k)^2b^2 = 1 e e dividir a equação para obter os termos isolados.
Finalmente, a equação canônica da elipse será:
onde é o centro da elipse no novo sistema de coordenadas, e e são os semi-eixos maiores e menores, respectivamente.

Resposta

A cônica representada pela equação é uma elipse. Após uma rotação de , a equação pode ser transformada para a sua forma canônica no novo sistema de coordenadas.

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