Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de cônica representa a equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas. Vamos analisar os coeficientes da equação e, se for uma cônica regular, transformar a equação para a sua forma canônica em um novo sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação geral de uma cônica é dada por
. No nosso caso:
Para saber qual cônica é essa, calculamos o discriminante
:
Como
, sabemos que a cônica é uma elipse.
Passo 3
Agora que identificamos que é uma elipse, precisamos eliminar o termo
para simplificar a equação. Isso se faz através de uma rotação de eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas de um ângulo
de forma que o termo
desapareça. A fórmula para encontrar
é:
Então,
Passo 4
Calculando o ângulo
:
Isso significa que vamos girar o sistema de coordenadas
no sentido horário para eliminar o termo
.
Passo 5
Com a rotação definida, vamos expressar as novas coordenadas
em função das antigas
:
Substituindo
e
pelos valores de
:
Passo 6
Substituindo na equação original:
Expandindo e simplificando todos os termos, o termo
será eliminado, e a equação ficará na forma:
Passo 7
Após simplificar, podemos escrever a equação na forma canônica da elipse. Isso geralmente envolve completar o quadrado para
e
e dividir a equação para obter os termos isolados.
Finalmente, a equação canônica da elipse será:
onde
é o centro da elipse no novo sistema de coordenadas, e
e
são os semi-eixos maiores e menores, respectivamente.
Resposta
A cônica representada pela equação
é uma elipse. Após uma rotação de
, a equação pode ser transformada para a sua forma canônica no novo sistema de coordenadas.