Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: Focos , vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem os focos em e , e os vértices em e . Para isso, vamos usar os conceitos de hipérbole, focos, vértices e as fórmulas que relacionam esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os focos. Como os focos estão em e , o centro é:
Então, o centro da nossa hipérbole é na origem, .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual é o eixo principal da hipérbole. Como os focos estão alinhados ao longo do eixo (vertical), sabemos que o eixo principal também é vertical. Isso significa que a equação da hipérbole terá a forma:
Aqui, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionado à distância dos “co-vertices”.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de . Sabemos que os vértices estão em e , então a distância do centro até cada vértice é 2. Portanto:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de , que é a distância do centro até cada foco. Como os focos estão em e , temos:

Passo 6

Sabemos que, para hipérboles, a relação entre , e é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar :

Passo 7

Agora que temos e , podemos substituir esses valores na equação geral da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:

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