Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: Focos
, vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem os focos em
e
, e os vértices em
e
. Para isso, vamos usar os conceitos de hipérbole, focos, vértices e as fórmulas que relacionam esses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os focos. Como os focos estão em
e
, o centro é:
Então, o centro da nossa hipérbole é na origem,
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual é o eixo principal da hipérbole. Como os focos estão alinhados ao longo do eixo
(vertical), sabemos que o eixo principal também é vertical. Isso significa que a equação da hipérbole terá a forma:
Aqui,
é a distância do centro até cada vértice, e
está relacionado à distância dos “co-vertices”.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
. Sabemos que os vértices estão em
e
, então a distância do centro até cada vértice é 2. Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
, que é a distância do centro até cada foco. Como os focos estão em
e
, temos:
Passo 6
Sabemos que, para hipérboles, a relação entre
,
e
é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos substituir esses valores na equação geral da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é:
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