Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as seguintes condições: Focos F1(0,-3), F2(0,3), vértices A1(0,2), A2(0,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem os focos em e , e os vértices em e . Para isso, vamos usar os conceitos de hipérbole, focos, vértices e as fórmulas que relacionam esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os focos. Como os focos estão em Centro = ( 0+02, -3+32 ) = (0,0) e , o centro é:
Então, o centro da nossa hipérbole é na origem, .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual é o eixo principal da hipérbole. Como os focos estão alinhados ao longo do eixo y^2a^2 - x^2b^2 = 1 (vertical), sabemos que o eixo principal também é vertical. Isso significa que a equação da hipérbole terá a forma:
Aqui, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionado à distância dos “co-vertices”.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de a = 2 Rightarrow a^2 = 4 . Sabemos que os vértices estão em e , então a distância do centro até cada vértice é 2. Portanto:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de c = 3 Rightarrow c^2 = 9 , que é a distância do centro até cada foco. Como os focos estão em e , temos:

Passo 6

Sabemos que, para hipérboles, a relação entre c^2 = a^2 + b^2 , 9 = 4 + b^2 Rightarrow b^2 = 5 e é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar :

Passo 7

Agora que temos y^24 - x^25 = 1 e , podemos substituir esses valores na equação geral da hipérbole:

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^24 - x^25 = 1

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