Seja r a interseção dos planos x+z=4 e y-2 z+4=0. Encontre uma equação da reta s definida pela projeção ortogonal de r no plano x-y+z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta , que é a projeção ortogonal da reta (interseção dos planos e ) no plano . Vamos usar geometria analítica e vetores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta , que é a interseção dos dois planos dados. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por e .

Passo 3

Vamos expressar x = 4 - z em função de a partir da primeira equação:

Passo 4

Agora, da segunda equação, resolvemos para y = 2z - 4 :

Passo 5

Então, podemos parametrizar a reta r: x = 4 - t y = 2t - 4 z = t em função de um parâmetro (onde ):

Passo 6

Agora, vamos encontrar a direção da reta dr = (-1, 2, 1) . Observando os coeficientes de nas equações paramétricas, temos o vetor diretor:

Passo 7

Para projetar a reta no plano , precisamos encontrar a direção da reta , que será a projeção do vetor diretor nesse plano.

Passo 8

A direção da projeção ds = dr - dr cdot n|n|^2 n pode ser encontrada usando a fórmula da projeção de um vetor sobre um vetor normal ao plano :
Onde é o vetor normal do plano.

Passo 9

Calculando o produto escalar (-1)(1) + (2)(-1) + (1)(1) = -1 -2 +1 = -2 :

Passo 10

Calculando 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1 +1 +1 = 3 :

Passo 11

Agora, substituindo na fórmula da projeção:
ds = (-1, 2, 1) - -23(1, -1, 1) = (-1, 2, 1) + (23, -23, 23)
ds = (-1 + 23, 2 - 23, 1 + 23) = (-13, 43, 53)

Passo 12

Agora que temos a direção da reta , precisamos encontrar um ponto por onde ela passa. Vamos projetar um ponto qualquer da reta no plano .

Passo 13

Vamos escolher x = 4 na parametrização de y = -4 :
z = 0
Então, o ponto é .

Passo 14

Para projetar P' = P - (ax + by + cz + d)a^2 + b^2 + c^2(a, b, c) no plano , usamos a fórmula de projeção de um ponto sobre um plano:
Onde o plano é , então , , , .

Passo 15

Calculando:
n = (1, -1, 1)
d = -2
P = (4, -4, 0)
ax + by + cz + d = 4(1) + (-4)(-1) + 0(1) -2 = 4 +4 +0 -2 =6
|n|^2 =1 +1 +1 =3
P' = (4, -4, 0) - 63(1, -1, 1) = (4, -4, 0) - 2(1, -1, 1) = (4-2, -4+2, 0-2) = (2, -2, -2)

Passo 16

Agora, temos que a reta ds = (-1, 4, 5) passa pelo ponto e tem direção . Podemos simplificar a direção multiplicando por 3 para evitar frações:

Resposta

A equação paramétrica da reta s: x = 2 - t y = -2 + 4t z = -2 + 5t é:
Onde é um parâmetro real.

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