Seja a interseção dos planos e . Encontre uma equação da reta definida pela projeção ortogonal de no plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta , que é a projeção ortogonal da reta (interseção dos planos e ) no plano . Vamos usar geometria analítica e vetores para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta , que é a interseção dos dois planos dados. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por e .

Passo 3

Vamos expressar em função de a partir da primeira equação:

Passo 4

Agora, da segunda equação, resolvemos para :

Passo 5

Então, podemos parametrizar a reta em função de um parâmetro (onde ):

Passo 6

Agora, vamos encontrar a direção da reta . Observando os coeficientes de nas equações paramétricas, temos o vetor diretor:

Passo 7

Para projetar a reta no plano , precisamos encontrar a direção da reta , que será a projeção do vetor diretor nesse plano.

Passo 8

A direção da projeção pode ser encontrada usando a fórmula da projeção de um vetor sobre um vetor normal ao plano :
Onde é o vetor normal do plano.

Passo 9

Calculando o produto escalar :

Passo 10

Calculando :

Passo 11

Agora, substituindo na fórmula da projeção:

Passo 12

Agora que temos a direção da reta , precisamos encontrar um ponto por onde ela passa. Vamos projetar um ponto qualquer da reta no plano .

Passo 13

Vamos escolher na parametrização de :
Então, o ponto é .

Passo 14

Para projetar no plano , usamos a fórmula de projeção de um ponto sobre um plano:
Onde o plano é , então , , , .

Passo 15

Calculando:

Passo 16

Agora, temos que a reta passa pelo ponto e tem direção . Podemos simplificar a direção multiplicando por 3 para evitar frações:

Resposta

A equação paramétrica da reta é:
Onde é um parâmetro real.

Exercícios relacionados

Determine uma condição necessária e suficiente para que um plano seja ortogonal ao plano .
Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta .
Determinar a equação do plano que contém o ponto e a reta .
Sejam e . Seja a reta passando por e paralela a .
(a) Dado um ponto na reta , calcule a distância de a (como função do parâmetro ).
(b) Mostre que existe precisamente um ponto na reta tal que esta distância atinge um mínimo.
© Mostre que é perpendicular à reta .