Seja a interseção dos planos e . Encontre uma equação da reta definida pela projeção ortogonal de no plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta , que é a projeção ortogonal da reta (interseção dos planos e ) no plano . Vamos usar geometria analítica e vetores para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da reta , que é a interseção dos dois planos dados. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por e .
Passo 3
Vamos expressar em função de a partir da primeira equação:
Passo 4
Agora, da segunda equação, resolvemos para :
Passo 5
Então, podemos parametrizar a reta em função de um parâmetro (onde ):
Passo 6
Agora, vamos encontrar a direção da reta . Observando os coeficientes de nas equações paramétricas, temos o vetor diretor:
Passo 7
Para projetar a reta no plano , precisamos encontrar a direção da reta , que será a projeção do vetor diretor nesse plano.
Passo 8
A direção da projeção pode ser encontrada usando a fórmula da projeção de um vetor sobre um vetor normal ao plano :
Onde é o vetor normal do plano.
Passo 9
Calculando o produto escalar :
Passo 10
Calculando :
Passo 11
Agora, substituindo na fórmula da projeção:
Passo 12
Agora que temos a direção da reta , precisamos encontrar um ponto por onde ela passa. Vamos projetar um ponto qualquer da reta no plano .
Passo 13
Vamos escolher na parametrização de :
Então, o ponto é .
Passo 14
Para projetar no plano , usamos a fórmula de projeção de um ponto sobre um plano:
Onde o plano é , então , , , .
Passo 15
Calculando:
Passo 16
Agora, temos que a reta passa pelo ponto e tem direção . Podemos simplificar a direção multiplicando por 3 para evitar frações: