Determine uma condição necessária e suficiente para que um plano pi: a x+b y+c z+d=0 seja ortogonal ao plano x z.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para determinar uma condição necessária e suficiente para que um plano seja ortogonal ao plano . Vamos precisar entender um pouquinho sobre planos no espaço tridimensional e o conceito de ortogonalidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que todo plano no espaço pode ser representado pela equação , onde é o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do plano . O plano é aquele onde a coordenada é sempre zero, ou seja, sua equação é . A equação desse plano pode ser reescrita como , o que nos mostra que o vetor normal é .

Passo 4

Para que dois planos sejam ortogonais, os seus vetores normais também precisam ser ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é igual a zero.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar entre o vetor normal do plano npi cdot nxz = a times 0 + b times 1 + c times 0 = b , que é , e o vetor normal do plano , que é :

Passo 6

Para que os planos sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
b = 0

Resposta

A condição necessária e suficiente para que o plano seja ortogonal ao plano é que .

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