Determine uma condição necessária e suficiente para que um plano
seja ortogonal ao plano
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para determinar uma condição necessária e suficiente para que um plano
seja ortogonal ao plano
. Vamos precisar entender um pouquinho sobre planos no espaço tridimensional e o conceito de ortogonalidade entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que todo plano no espaço pode ser representado pela equação
, onde
é o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor normal do plano
. O plano
é aquele onde a coordenada
é sempre zero, ou seja, sua equação é
. A equação desse plano pode ser reescrita como
, o que nos mostra que o vetor normal é
.
Passo 4
Para que dois planos sejam ortogonais, os seus vetores normais também precisam ser ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é igual a zero.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar entre o vetor normal do plano
, que é
, e o vetor normal do plano
, que é
:
Passo 6
Para que os planos sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
Resposta
A condição necessária e suficiente para que o plano
seja ortogonal ao plano
é que
.
Exercícios relacionados
Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
e que é perpendicular à reta
.
Determine as coordenadas do ponto
, simétrico de
em relação à reta
.
Seja
a interseção dos planos
e
. Encontre uma equação da reta
definida pela projeção ortogonal de
no plano
.
Determinar a equação do plano que contém o ponto
e a reta
.