Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A(3,1,-1) e é perpendicular ao plano 2 x-2 y+z+4=0, tendo sua interseção com o eixo O z no ponto de cota igual a -3 .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto , é perpendicular ao plano e intercepta o eixo no ponto com coordenada . Para isso, vamos usar conceitos de vetores normais e equações de planos na geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, identificamos o vetor normal do plano dado n1 = (2, -2, 1) . O vetor normal ( ) é formado pelos coeficientes de , e , ou seja:

Passo 3

Como o plano que queremos encontrar é perpendicular ao plano dado, seus vetores normais devem ser perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Se n cdot n1 = 2a - 2b + c = 0 é o vetor normal do nosso plano, então:

Passo 4

Além disso, o plano intercepta o eixo c(-3) + d = 0 implies -3c + d = 0 implies d = 3c no ponto onde . No eixo , e . Substituindo esses valores na equação geral do plano :

Passo 5

Sabemos também que o plano passa pelo ponto 3a + b - c + d = 0 . Substituindo as coordenadas de 3a + b - c + 3c = 0 implies 3a + b + 2c = 0 na equação do plano:
Substituindo :

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
3a + b + 2c = 0 2a - 2b + c = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre , e .

Passo 7

Vamos expressar a = t em termos de 3t + b + 2c = 0 implies b = -3t - 2c :
2t - 2(-3t - 2c) + c = 0 implies 2t + 6t + 4c + c = 0 implies 8t + 5c = 0
Substituindo c = -85t na primeira equação:
b = -3t - 2(-85t) = -3t + 165t = -15t + 16t5 = t5
Substituindo na segunda equação:
Daí, temos:
E substituindo na expressão de :

Passo 8

Agora, podemos escrever o vetor normal n = (t, t5, -85t) em termos de n = (5, 1, -8) :
Para simplificar, escolhemos :

Passo 9

Com d = 3c = 3(-8) = -24 , temos:

Passo 10

Agora, substituímos os valores de 5x + y - 8z - 24 = 0 , , e na equação geral do plano:

Resposta

A equação do plano é .

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