Determinar a equação do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano
, tendo sua interseção com o eixo
no ponto de cota igual a -3 .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto
, é perpendicular ao plano
e intercepta o eixo
no ponto com coordenada
. Para isso, vamos usar conceitos de vetores normais e equações de planos na geometria espacial.
Passo 2
Primeiro, identificamos o vetor normal do plano dado
. O vetor normal (
) é formado pelos coeficientes de
,
e
, ou seja:
Passo 3
Como o plano que queremos encontrar é perpendicular ao plano dado, seus vetores normais devem ser perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Se
é o vetor normal do nosso plano, então:
Passo 4
Além disso, o plano intercepta o eixo
no ponto onde
. No eixo
,
e
. Substituindo esses valores na equação geral do plano
:
Passo 5
Sabemos também que o plano passa pelo ponto
. Substituindo as coordenadas de
na equação do plano:
Substituindo
:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre
,
e
.
Passo 7
Vamos expressar
em termos de
:
Substituindo
na primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Daí, temos:
E substituindo
na expressão de
:
Passo 8
Agora, podemos escrever o vetor normal
em termos de
:
Para simplificar, escolhemos
:
Passo 9
Com
, temos:
Passo 10
Agora, substituímos os valores de
,
,
e
na equação geral do plano:
Resposta
A equação do plano é
.