Determine os valores a, b e c na combinação linear do vetor (5,-1,2) in R^3 dada por:
(5,-1,2)=a(1,-1,0)+b(2,0,1)+c(0,1,1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de combinação linear! A gente tem o vetor (5, -1, 2) que queremos expressar como uma combinação linear dos vetores (1, -1, 0), (2, 0, 1) e (0, 1, 1). Isso significa que precisamos encontrar os valores de a, b e c tais que:
(5, -1, 2) = a(1, -1, 0) + b(2, 0, 1) + c(0, 1, 1)
Vamos usar a teoria de sistemas lineares para descobrir esses valores!

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a combinação linear. Multiplicamos cada vetor pelos seus respectivos coeficientes:
a(1, -1, 0) = (a, -a, 0) b(2, 0, 1) = (2b, 0, b) c(0, 1, 1) = (0, c, c)
Agora, somamos esses vetores:
(a + 2b + 0, -a + 0 + c, 0 + b + c) = (a + 2b, -a + c, b + c)

Passo 3

Sabemos que essa soma deve ser igual ao vetor (5, -1, 2). Então, podemos escrever um sistema de equações igualando cada componente:
  1. a + 2b = 5 \
  2. -a + c = -1 \
  3. b + c = 2
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar a, b e c.

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para c em função de a:
- a + c = -1 Rightarrow c = a - 1
Agora, substituímos esse valor de c na terceira equação:
b + (a - 1) = 2 Rightarrow a + b = 3 Rightarrow b = 3 - a

Passo 5

Agora, temos b = 3 - a. Vamos substituir b na primeira equação:
a + 2b = 5 a + 2(3 - a) = 5 a + 6 - 2a = 5 - a + 6 = 5 - a = -1 a = 1

Passo 6

Com a = 1, podemos encontrar b e c:
b = 3 - a = 3 - 1 = 2 c = a - 1 = 1 - 1 = 0

Resposta

Os valores são a = 1, b = 2 e c = 0.

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