O ponto e o plano é paralelo aos vetores e . Escreva a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre planos. Você tem um ponto no plano, , e dois vetores que são paralelos a esse plano, e . O que precisamos fazer é encontrar três formas de descrever o plano : a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, combinações lineares e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano passa por um ponto dado e é formada por combinações lineares dos vetores que são paralelos a ele. No nosso caso, o plano passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Então, qualquer ponto no plano pode ser representado como:
Onde e são escalares que variam.
Passo 3
Agora, vamos transformar essa equação vetorial em equações paramétricas. Para isso, expandimos a equação vetorial componentemente. Sabemos que:
Isso dá:
Portanto, as equações paramétricas do plano são:
Passo 4
Para encontrar a equação geral do plano, precisamos primeiro achar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores e . Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é .
Agora, usamos a equação geral do plano que é dada por: