O ponto A(3,2,2) in pi e o plano pi é paralelo aos vetores u=(3,2,-1) e v=(2,2,3). Escreva a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral do plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre planos. Você tem um ponto no plano, A(3,2,2), e dois vetores que são paralelos a esse plano, u=(3,2,-1) e v=(2,2,3). O que precisamos fazer é encontrar três formas de descrever o plano pi: a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, combinações lineares e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano passa por um ponto dado e é formada por combinações lineares dos vetores que são paralelos a ele. No nosso caso, o plano passa pelo ponto A(3,2,2) e é paralelo aos vetores u e v. Então, qualquer ponto P(x,y,z) no plano pode ser representado como:
AP = su + tv
Onde s e t são escalares que variam.

Passo 3

Agora, vamos transformar essa equação vetorial em equações paramétricas. Para isso, expandimos a equação vetorial componentemente. Sabemos que:
AP = (x-3, y-2, z-2) = s(3,2,-1) + t(2,2,3)
Isso dá:
x - 3 = 3s + 2t y - 2 = 2s + 2t z - 2 = -s + 3t
Portanto, as equações paramétricas do plano são:
x = 3 + 3s + 2t y = 2 + 2s + 2t z = 2 - s + 3t

Passo 4

Para encontrar a equação geral do plano, precisamos primeiro achar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores u e v. Calculando o produto vetorial:
n = u times v = i & j & k 3 & 2 & -1 2 & 2 & 3 = i(2 cdot 3 - (-1) cdot 2) - j(3 cdot 3 - (-1) cdot 2) + k(3 cdot 2 - 2 cdot 2) = i(6 + 2) - j(9 + 2) + k(6 - 4) = 8i - 11j + 2k
Então, o vetor normal é n = (8, -11, 2).
Agora, usamos a equação geral do plano que é dada por:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x,y,z) e r0 = (3,2,2). Substituindo:
8(x - 3) - 11(y - 2) + 2(z - 2) = 0 8x - 24 - 11y + 22 + 2z - 4 = 0 8x - 11y + 2z - 6 = 0

Resposta

  • Equação Vetorial do Plano:
AP = su + tv
  • Equações Paramétricas do Plano:
x = 3 + 3s + 2t y = 2 + 2s + 2t z = 2 - s + 3t
  • Equação Geral do Plano:
8x - 11y + 2z - 6 = 0

Exercícios relacionados