O ponto e o plano é paralelo aos vetores e . Escreva a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre geometria no espaço tridimensional, especificamente sobre planos. Você tem um ponto no plano, , e dois vetores que são paralelos a esse plano, e . O que precisamos fazer é encontrar três formas de descrever o plano : a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, combinações lineares e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano passa por um ponto dado e é formada por combinações lineares dos vetores que são paralelos a ele. No nosso caso, o plano passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Então, qualquer ponto no plano pode ser representado como:
Onde e são escalares que variam.

Passo 3

Agora, vamos transformar essa equação vetorial em equações paramétricas. Para isso, expandimos a equação vetorial componentemente. Sabemos que:
Isso dá:
Portanto, as equações paramétricas do plano são:

Passo 4

Para encontrar a equação geral do plano, precisamos primeiro achar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser encontrado usando o produto vetorial dos vetores e . Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é .
Agora, usamos a equação geral do plano que é dada por:
Onde e . Substituindo:

Resposta

  • Equação Vetorial do Plano:
  • Equações Paramétricas do Plano:
  • Equação Geral do Plano:

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Escreva a equação do plano:
perpendicular ao eixo dos , no ponto ;
Determinar a equação do plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano , tendo sua interseção com o eixo no ponto de cota igual a -3 .
Encontre os valores de para que os vetores
sejam linearmente dependentes.
Escrever uma equação geral e as equações paramétricas dos planos determinados pelos seguintes pontos: