A interseção das retas r: X=(3,-1,2)+t(1,3,-2), t in R, e s: X^prime=(1,-2,5)+t^prime(-3,-4,5), t^prime in R, é um ponto P. Determine a distância de P ao plano pi: x+y+z-2=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos duas retas no espaço, e , definidas por equações paramétricas. O ponto é a interseção dessas duas retas. Nosso objetivo é encontrar a distância desse ponto até o plano . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a interseção de retas no espaço e o cálculo da distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Para encontrar o ponto de interseção r: x = 3 + t y = -1 + 3t z = 2 - 2t , t in R das retas s: x' = 1 - 3t' y' = -2 - 4t' z' = 5 + 5t' , t' in R e 3 + t = 1 - 3t' (1) , precisamos igualar as equações paramétricas das duas retas e resolver o sistema resultante.
As equações das retas são:
-1 + 3t = -2 - 4t' (2)
2 - 2t = 5 + 5t' (3)
Como está na interseção das retas e , temos que:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações (1), (2) e (3) para encontrar os valores de 3 + t = 1 - 3t' t = -2 - 3t' (4) e -1 + 3(-2 - 3t') = -2 - 4t' -1 - 6 - 9t' = -2 - 4t' -7 - 9t' = -2 - 4t' -5t' = 5 t' = -1 .
Primeiro, da equação (1):
t = -2 - 3(-1) t = -2 + 3 t = 1
Substituindo o valor de da equação (4) na equação (2):
Agora, substituindo na equação (4):

Passo 4

Com os valores de x = 3 + 1 = 4 y = -1 + 3(1) = 2 z = 2 - 2(1) = 0 e P = (4, 2, 0) encontrados, podemos determinar as coordenadas do ponto substituindo na equação da reta :
Portanto, o ponto de interseção é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do ponto d = |ax0 + by0 + cz0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 ao plano a = 1, b = 1, c = 1, d = -2 x0 = 4, y0 = 2, z0 = 0 . A fórmula para a distância d = |1 cdot 4 + 1 cdot 2 + 1 cdot 0 - 2|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |4 + 2 + 0 - 2|raiz3 = |4|raiz3 = 4raiz3 de um ponto d = 4raiz33 a um plano é:
Aplicando os valores do plano e do ponto :
Substituindo na fórmula:
Racionalizando o denominador:

Resposta

A distância de ao plano é .

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