A interseção das retas , e , é um ponto . Determine a distância de ao plano .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos duas retas no espaço, e , definidas por equações paramétricas. O ponto é a interseção dessas duas retas. Nosso objetivo é encontrar a distância desse ponto até o plano . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a interseção de retas no espaço e o cálculo da distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Para encontrar o ponto de interseção das retas e , precisamos igualar as equações paramétricas das duas retas e resolver o sistema resultante.
As equações das retas são:
Como está na interseção das retas e , temos que:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações (1), (2) e (3) para encontrar os valores de e .
Primeiro, da equação (1):
Substituindo o valor de da equação (4) na equação (2):
Agora, substituindo na equação (4):

Passo 4

Com os valores de e encontrados, podemos determinar as coordenadas do ponto substituindo na equação da reta :
Portanto, o ponto de interseção é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do ponto ao plano . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Aplicando os valores do plano e do ponto :
Substituindo na fórmula:
Racionalizando o denominador:

Resposta

A distância de ao plano é .

Exercícios relacionados

Determine a distância do ponto , interseção dos planos e a reta .
Sejam os planos paralelos
(a) Mostre que a distância entre os planos é
(b) Encontre a distância entre os planos e .
Determinar a posição relativa entre as retas .
Determinar a equação do plano , que contém o ponto e é perpendicular à reta , interseção dos planos e .