Determinar a equação do plano pi, paralelo ao plano alpha: 2 x+5 y+ z-4=0, sabendo-se que passa pelo ponto de interseção da reta r:(x, y, z)=(1,0,3)+t(2,-1,3) com o plano pi2: x+3 y-z-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano chamado pi, que é paralelo a outro plano dado, alpha: 2x + 5y + z - 4 = 0. Além disso, sabemos que esse plano pi passa por um ponto específico, que é onde uma reta r cruza com outro plano pi2: x + 3y - z - 2 = 0. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como equações de planos e retas, além de resolver sistemas de equações. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção entre a reta r e o plano pi2. A reta r está dada pela equação paramétrica:
(x, y, z) = (1, 0, 3) + t(2, -1, 3)
Isso significa que:
x = 1 + 2t y = 0 - t z = 3 + 3t
Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano pi2 para encontrar o valor de t:
x + 3y - z - 2 = 0 (1 + 2t) + 3( - t) - (3 + 3t) - 2 = 0
Simplificando:
1 + 2t - 3t - 3 - 3t - 2 = 0 1 - 3 - 2 + (2t - 3t - 3t) = 0 -4 - 4t = 0 -4t = 4 t = -1
Agora que temos t = -1, substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar o ponto de interse��ão:
x = 1 + 2(-1) = -1 y = 0 - (-1) = 1 z = 3 + 3(-1) = 0
Portanto, o ponto de interseção é P(-1, 1, 0).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a equação do plano pi que é paralelo ao plano alpha: 2x + 5y + z - 4 = 0 e passa pelo ponto P(-1, 1, 0).
Quando dois planos são paralelos, eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano alpha é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n = (2, 5, 1).
A equação geral de um plano é:
2x + 5y + z + D = 0
Nosso objetivo é encontrar o valor de D de forma que o plano passe pelo ponto P(-1, 1, 0). Substituímos as coordenadas de P na equação do plano:
2(-1) + 5(1) + (0) + D = 0 -2 + 5 + D = 0 3 + D = 0 D = -3

Resposta

A equação do plano pi é:
2x + 5y + z - 3 = 0

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