Determinar a equação do plano
, paralelo ao plano
, sabendo-se que passa pelo ponto de interseção da reta
com o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano chamado
, que é paralelo a outro plano dado,
. Além disso, sabemos que esse plano
passa por um ponto específico, que é onde uma reta
cruza com outro plano
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como equações de planos e retas, além de resolver sistemas de equações. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção entre a reta
e o plano
. A reta
está dada pela equação paramétrica:
Isso significa que:
Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano
para encontrar o valor de
:
Simplificando:
Agora que temos
, substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar o ponto de interse��ão:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a equação do plano
que é paralelo ao plano
e passa pelo ponto
.
Quando dois planos são paralelos, eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano
é dado pelos coeficientes de
,
e
, ou seja,
.
A equação geral de um plano é:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
de forma que o plano passe pelo ponto
. Substituímos as coordenadas de
na equação do plano:
Resposta
A equação do plano
é: