Determinar a equação do plano , paralelo ao plano , sabendo-se que passa pelo ponto de interseção da reta com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano chamado , que é paralelo a outro plano dado, . Além disso, sabemos que esse plano passa por um ponto específico, que é onde uma reta cruza com outro plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como equações de planos e retas, além de resolver sistemas de equações. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção entre a reta e o plano . A reta está dada pela equação paramétrica:
Isso significa que:
Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano para encontrar o valor de :
Simplificando:
Agora que temos , substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar o ponto de interse��ão:
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a equação do plano que é paralelo ao plano e passa pelo ponto .
Quando dois planos são paralelos, eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, .
A equação geral de um plano é:
Nosso objetivo é encontrar o valor de de forma que o plano passe pelo ponto . Substituímos as coordenadas de na equação do plano: