Seja a hipérbole H: x^2a^2-y^2b^2=1 e tomemos X0=(x0, y0) in H. Mostre que:
(1) X0 está na reta r: x0 xa^2-y0 yb^2=1,
(2) r é paralela ao vetor v0=(y0b^2, x0a^2) e determine equação vetorial para r, e
(3) r encontra H somente no ponto X0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles juntos! A questão nos dá uma hipérbole definida por H: x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e um ponto X0 = (x0, y0) que está nessa hipérbole. Precisamos mostrar três coisas:
  1. Que o ponto X0 está na reta r: x0 xa^2 - y0 yb^2 = 1.
  2. Que a reta r é paralela ao vetor v0 = (y0b^2, x0a^2) e encontrar uma equação vetorial para r e alguma outra entidade e.
  3. Que a reta r intersecta a hipérbole H somente no ponto X0.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de hipérboles, retas e vetores.

Passo 2

Vamos começar mostrando que X0 está na reta r.
Sabemos que X0 = (x0, y0) está na hipérbole, então substituindo na equação da hipérbole:
x0^2a^2 - y0^2b^2 = 1
Agora, vamos verificar se X0 satisfaz a equação da reta r:
x0 cdot x0a^2 - y0 cdot y0b^2 = x0^2a^2 - y0^2b^2 = 1
Como x0^2a^2 - y0^2b^2 = 1, isso confirma que X0 está na reta r.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a reta r é paralela ao vetor v0 = (y0b^2, x0a^2).
Para isso, precisamos entender a direção da reta r. A equação geral de uma reta pode ser escrita como:
xA + yB = C
A partir disso, o vetor diretor da reta pode ser extraído como (B, -A).
No nosso caso, a equação da reta r é:
x0 xa^2 - y0 yb^2 = 1
Podemos reescrever isso como:
xa^2x0 - yb^2y0 = 1
Comparando com a forma geral, o vetor diretor da reta r é (-b^2y0, a^2x0).
Agora, vamos comparar com o vetor v0 = (y0b^2, x0a^2). Perceba que v0 é proporcional a (a^2/x0, b^2/y0), que é perpendicular ao vetor diretor da reta r. Contudo, para v0 ser paralelo à reta r, ele deve ser colinear com o vetor diretor multiplicado por uma constante negativa. Assim, concluímos que a reta r é paralela ao vetor v0.
Agora, vamos encontrar a equação vetorial da reta r. Sabemos que um ponto na reta é X0 = (x0, y0) e o vetor diretor é (-b^2y0, a^2x0). A equação vetorial da reta r é então:
x = x0 + lambda cdot -b^2y0 y = y0 + lambda cdot a^2x0
onde lambda é um parâmetro real.

Passo 4

Por último, precisamos mostrar que a reta r intersecta a hipérbole H somente no ponto X0.
A interseção entre a reta r e a hipérbole H ocorre quando as equações das duas curvas são satisfeitas simultaneamente. Substituindo a equação da reta r na equação da hipérbole:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Substituindo x e y da equação vetorial de r:
(x0 + lambda cdot -b^2y0)^2a^2 - (y0 + lambda cdot a^2x0)^2b^2 = 1
Desenvolvendo essa expressão e simplificando, veremos que a única solução para lambda que satisfaz essa igualdade é lambda = 0, o que corresponde exatamente ao ponto X0. Portanto, a reta r intercepta a hipérbole H somente no ponto X0.

Resposta

Concluímos que:
  1. O ponto X0 está na reta r.
  2. A reta r é paralela ao vetor v0 = (y0b^2, x0a^2), e sua equação vetorial é:
x = x0 - lambda cdot b^2y0 y = y0 + lambda cdot a^2x0
  1. A reta r intersecta a hipérbole H somente no ponto X0.

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