Seja a hipérbole e tomemos . Mostre que:
(1) está na reta ,
(2) é paralela ao vetor e determine equação vetorial para
(3) encontra somente no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérboles juntos! A questão nos dá uma hipérbole definida por e um ponto que está nessa hipérbole. Precisamos mostrar três coisas:
Que o ponto está na reta .
Que a reta é paralela ao vetor e encontrar uma equação vetorial para e alguma outra entidade .
Que a reta intersecta a hipérbole somente no ponto .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de hipérboles, retas e vetores.
Passo 2
Vamos começar mostrando que está na reta .
Sabemos que está na hipérbole, então substituindo na equação da hipérbole:
Agora, vamos verificar se satisfaz a equação da reta :
Como , isso confirma que está na reta .
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a reta é paralela ao vetor .
Para isso, precisamos entender a direção da reta . A equação geral de uma reta pode ser escrita como:
A partir disso, o vetor diretor da reta pode ser extraído como .
No nosso caso, a equação da reta é:
Podemos reescrever isso como:
Comparando com a forma geral, o vetor diretor da reta é .
Agora, vamos comparar com o vetor . Perceba que é proporcional a , que é perpendicular ao vetor diretor da reta . Contudo, para ser paralelo à reta , ele deve ser colinear com o vetor diretor multiplicado por uma constante negativa. Assim, concluímos que a reta é paralela ao vetor .
Agora, vamos encontrar a equação vetorial da reta . Sabemos que um ponto na reta é e o vetor diretor é . A equação vetorial da reta é então:
onde é um parâmetro real.
Passo 4
Por último, precisamos mostrar que a reta intersecta a hipérbole somente no ponto .
A interseção entre a reta e a hipérbole ocorre quando as equações das duas curvas são satisfeitas simultaneamente. Substituindo a equação da reta na equação da hipérbole:
Substituindo e da equação vetorial de :
Desenvolvendo essa expressão e simplificando, veremos que a única solução para que satisfaz essa igualdade é , o que corresponde exatamente ao ponto . Portanto, a reta intercepta a hipérbole somente no ponto .
Resposta
Concluímos que:
O ponto está na reta .
A reta é paralela ao vetor , e sua equação vetorial é: