Encontre a soluçāo geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes sāo ortogonais aos vetores soluçāo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral do sistema e também para verificar se os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução. Para isso, vamos usar o conteúdo de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares e conceitos de vetores ortogonais. Precisaremos realizar operações de linha para simplificar o sistema e encontrar as soluções em termos das variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema para facilitar a resolução:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações de linha, para achar as relações entre as variáveis.

Passo 3

Vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações. Para isso, usaremos a primeira equação como referência.
  • Operação 1: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Operação 2: Adicionar a primeira linha à terceira linha.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas para facilitar a resolução.
  • Operação 3: Multiplicar a segunda linha por para deixar o coeficiente de igual a 1.
  • Operação 4: Subtrair 9 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar na terceira equação.

Passo 5

Agora, vamos resolver para as variáveis , e .
  • Equação 3:
Podemos expressar em termos de e :
Agora, vamos considerar e como variáveis livres, ou seja, podemos atribuir a elas quaisquer valores reais. Vamos definir:
Substituindo esses valores nas equações anteriores:
  • Equação 2:
  • Equação 1:

Passo 6

Agora que temos todas as variáveis em termos de e , podemos escrever a solução geral do sistema:
Podemos também representar a solução vetorialmente:

Passo 7

Finalmente, vamos confirmar que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução. Isso significa que o produto escalar entre qualquer linha da matriz e a solução vetorial deve ser zero.
Vamos verificar para a primeira linha e a solução :
Substituindo os valores de , vemos que o resultado é realmente zero. O mesmo vale para as outras linhas da matriz, confirmando a ortogonalidade.

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
onde e são números reais quaisquer. Além disso, os vetores solução são ortogonais aos vetores linha da matriz de coeficientes, conforme confirmado.

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paralelo ao plano unidades acima dele;
Encontre a soluçāo geral do sistema linear e use-a para encontrar uma soluçāo geral do sistema homogêneo associado e uma soluçāo particular do sistema dado.
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(1) está na reta ,
(2) é paralela ao vetor e determine equação vetorial para
(3) encontra somente no ponto .
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