Encontre a soluçāo geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes sāo ortogonais aos vetores soluçāo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral do sistema e também para verificar se os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução. Para isso, vamos usar o conteúdo de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares e conceitos de vetores ortogonais. Precisaremos realizar operações de linha para simplificar o sistema e encontrar as soluções em termos das variáveis livres.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema para facilitar a resolução:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações de linha, para achar as relações entre as variáveis.
Passo 3
Vamos começar eliminando o das segunda e terceira equações. Para isso, usaremos a primeira equação como referência.
Operação 1: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Operação 2: Adicionar a primeira linha à terceira linha.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas para facilitar a resolução.
Operação 3: Multiplicar a segunda linha por para deixar o coeficiente de igual a 1.
Operação 4: Subtrair 9 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar na terceira equação.
Passo 5
Agora, vamos resolver para as variáveis , e .
Equação 3:
Podemos expressar em termos de e :
Agora, vamos considerar e como variáveis livres, ou seja, podemos atribuir a elas quaisquer valores reais. Vamos definir:
Substituindo esses valores nas equações anteriores:
Equação 2:
Equação 1:
Passo 6
Agora que temos todas as variáveis em termos de e , podemos escrever a solução geral do sistema:
Podemos também representar a solução vetorialmente:
Passo 7
Finalmente, vamos confirmar que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução. Isso significa que o produto escalar entre qualquer linha da matriz e a solução vetorial deve ser zero.
Vamos verificar para a primeira linha e a solução :
Substituindo os valores de , vemos que o resultado é realmente zero. O mesmo vale para as outras linhas da matriz, confirmando a ortogonalidade.
Resposta
A solução geral do sistema é dada por:
onde e são números reais quaisquer. Além disso, os vetores solução são ortogonais aos vetores linha da matriz de coeficientes, conforme confirmado.