Encontre a soluçāo geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes sāo ortogonais aos vetores soluçāo
r x1+7 x2-x3+4 x4=0 2 x1+x2-2 x3+x4-2 x5=0 -x1+2 x2-3 x3-6 x4+x5=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear juntos! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral do sistema e também para verificar se os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução. Para isso, vamos usar o conteúdo de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares e conceitos de vetores ortogonais. Precisaremos realizar operações de linha para simplificar o sistema e encontrar as soluções em termos das variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema para facilitar a resolução:
1 & 7 & -1 & 4 & 0 2 & 1 & -2 & 1 & -2 -1 & 2 & -3 & -6 & 1
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, usando operações de linha, para achar as relações entre as variáveis.

Passo 3

Vamos começar eliminando o R2 = R2 - 2R1 1 & 7 & -1 & 4 & 0 0 & -13 & 0 & -7 & -2 -1 & 2 & -3 & -6 & 1 das segunda e terceira equações. Para isso, usaremos a primeira equação como referência.
  • Operação 1: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
R3 = R3 + R1 1 & 7 & -1 & 4 & 0 0 & -13 & 0 & -7 & -2 0 & 9 & -4 & -2 & 1
  • Operação 2: Adicionar a primeira linha à terceira linha.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas para facilitar a resolução.
  • Operação 3: Multiplicar a segunda linha por R2 = -113R2 1 & 7 & -1 & 4 & 0 0 & 1 & 0 & 713 & 213 0 & 9 & -4 & -2 & 1 para deixar o coeficiente de R3 = R3 - 9R2 1 & 7 & -1 & 4 & 0 0 & 1 & 0 & 713 & 213 0 & 0 & -4 & -7713 & 113 igual a 1.
  • Operação 4: Subtrair 9 vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar na terceira equação.

Passo 5

Agora, vamos resolver para as variáveis x3 = -7752x4 + 152x5 , x4 = t x5 = s e x2 + 713t + 213s = 0 x2 = -713t - 213s .
  • Equação 3: x1 + 7x2 - x3 + 4t = 0 x1 = -7x2 + x3 - 4t x1 = -7(-713t - 213s) + (-7752t + 152s) - 4t x1 = 4913t + 1413s - 7752t + 152s - 4t x1 = (4913 - 7752 - 4)t + (1413 + 152)s x1 = (19652 - 7752 - 20852)t + (5652 + 152)s x1 = (-8952)t + (5752)s
Podemos expressar em termos de e :
Agora, vamos considerar e como variáveis livres, ou seja, podemos atribuir a elas quaisquer valores reais. Vamos definir:
Substituindo esses valores nas equações anteriores:
  • Equação 2:
  • Equação 1:

Passo 6

Agora que temos todas as variáveis em termos de x1 = -8952t + 5752s x2 = -713t - 213s x3 = -7752t + 152s x4 = t x5 = s e x = t -8952 -713 -7752 1 0 + s 5752 -213 152 0 1 , podemos escrever a solução geral do sistema:
Podemos também representar a solução vetorialmente:

Passo 7

Finalmente, vamos confirmar que os vetores linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução. Isso significa que o produto escalar entre qualquer linha da matriz e a solução vetorial deve ser zero.
Vamos verificar para a primeira linha a1 cdot x = 1 cdot x1 + 7 cdot x2 -1 cdot x3 + 4 cdot x4 + 0 cdot x5 = 0 e a solução :
Substituindo os valores de , vemos que o resultado é realmente zero. O mesmo vale para as outras linhas da matriz, confirmando a ortogonalidade.

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
x = t -8952 -713 -7752 1 0 + s 5752 -213 152 0 1
onde e são números reais quaisquer. Além disso, os vetores solução são ortogonais aos vetores linha da matriz de coeficientes, conforme confirmado.

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