Determine a soluçāo do sistema linear
r 2 x1+6 x2-3 x3+4 x4-10 x5=1 -x1-5 x2+3 x3-3 x4-x5=2 3 x1+x2-2 x3+x4+x5=3 -x1-x2+2 x3+4 x4-6 x5=4
Determine a expressāo para a matriz escalonada reduzida por linhas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você me passou. A gente vai usar um método chamado escalonamento de matrizes para simplificar o sistema e chegar na matriz escalonada reduzida por linhas. Isso vai ajudar a encontrar as soluções das variáveis envolvidas. Precisaremos usar operações básicas de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
2 & 6 & -3 & 4 & -10 & | & 1 -1 & -5 & 3 & -3 & -1 & | & 2 3 & 1 & -2 & 1 & 1 & | & 3 -1 & -1 & 2 & 4 & -6 & | & 4

Passo 3

Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, que é 2. Queremos que esse elemento seja 1 para facilitar os cálculos. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
R1 = 12 R1 Rightarrow 1 & 3 & -1.5 & 2 & -5 & | & 0.5 -1 & -5 & 3 & -3 & -1 & | & 2 3 & 1 & -2 & 1 & 1 & | & 3 -1 & -1 & 2 & 4 & -6 & | & 4

Passo 4

Agora, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do pivô (o 1 na primeira linha).
  • Para a segunda linha (R2), somamos R1 a R2:
R2 = R2 + R1 Rightarrow 1 & 3 & -1.5 & 2 & -5 & | & 0.5 0 & -2 & 1.5 & -1 & -6 & | & 2.5 3 & 1 & -2 & 1 & 1 & | & 3 -1 & -1 & 2 & 4 & -6 & | & 4
  • Para a terceira linha (R3), subtraímos 3 vezes R1 de R3:
R3 = R3 - 3R1 Rightarrow 1 & 3 & -1.5 & 2 & -5 & | & 0.5 0 & -2 & 1.5 & -1 & -6 & | & 2.5 0 & -8 & 2.5 & -5 & 16 & | & 1.5 -1 & -1 & 2 & 4 & -6 & | & 4
  • Para a quarta linha (R4), somamos R1 a R4:
R4 = R4 + R1 Rightarrow 1 & 3 & -1.5 & 2 & -5 & | & 0.5 0 & -2 & 1.5 & -1 & -6 & | & 2.5 0 & -8 & 2.5 & -5 & 16 & | & 1.5 0 & 2 & 0.5 & 6 & -11 & | & 4.5

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. O pivô é o -2 na segunda linha. Vamos transformá-lo em 1 dividindo a segunda linha por -2:
R2 = 1-2 R2 Rightarrow 1 & 3 & -1.5 & 2 & -5 & | & 0.5 0 & 1 & -0.75 & 0.5 & 3 & | & -1.25 0 & -8 & 2.5 & -5 & 16 & | & 1.5 0 & 2 & 0.5 & 6 & -11 & | & 4.5

Passo 6

Vamos usar a segunda linha para eliminar os outros elementos na segunda coluna.
  • Para a primeira linha (R1), subtraímos 3 vezes R2 de R1:
R1 = R1 - 3R2 Rightarrow 1 & 0 & 1.75 & 0.5 & -14 & | & 4.25 0 & 1 & -0.75 & 0.5 & 3 & | & -1.25 0 & -8 & 2.5 & -5 & 16 & | & 1.5 0 & 2 & 0.5 & 6 & -11 & | & 4.5
  • Para a terceira linha (R3), adicionamos 8 vezes R2 a R3:
R3 = R3 + 8R2 Rightarrow 1 & 0 & 1.75 & 0.5 & -14 & | & 4.25 0 & 1 & -0.75 & 0.5 & 3 & | & -1.25 0 & 0 & -4 & -1 & 40 & | & -8.5 0 & 2 & 0.5 & 6 & -11 & | & 4.5
  • Para a quarta linha (R4), subtraímos 2 vezes R2 de R4:
R4 = R4 - 2R2 Rightarrow 1 & 0 & 1.75 & 0.5 & -14 & | & 4.25 0 & 1 & -0.75 & 0.5 & 3 & | & -1.25 0 & 0 & -4 & -1 & 40 & | & -8.5 0 & 0 & 2 & 5 & -17 & | & 7

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. O pivô é -4 na terceira linha. Vamos transformá-lo em 1 dividindo a terceira linha por -4:
R3 = 1-4 R3 Rightarrow 1 & 0 & 1.75 & 0.5 & -14 & | & 4.25 0 & 1 & -0.75 & 0.5 & 3 & | & -1.25 0 & 0 & 1 & 0.25 & -10 & | & 2.125 0 & 0 & 2 & 5 & -17 & | & 7

Passo 8

Vamos usar a terceira linha para eliminar os outros elementos na terceira coluna.
  • Para a primeira linha (R1), subtraímos 1.75 vezes R3 de R1:
R1 = R1 - 1.75R3 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 0 & 3.5 & | & 0.15625 0 & 1 & -0.75 & 0.5 & 3 & | & -1.25 0 & 0 & 1 & 0.25 & -10 & | & 2.125 0 & 0 & 2 & 5 & -17 & | & 7
  • Para a segunda linha (R2), somamos 0.75 vezes R3 a R2:
R2 = R2 + 0.75R3 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 0 & 3.5 & | & 0.15625 0 & 1 & 0 & 0.6875 & -4.5 & | & 0.09375 0 & 0 & 1 & 0.25 & -10 & | & 2.125 0 & 0 & 2 & 5 & -17 & | & 7
  • Para a quarta linha (R4), subtraímos 2 vezes R3 de R4:
R4 = R4 - 2R3 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 0 & 3.5 & | & 0.15625 0 & 1 & 0 & 0.6875 & -4.5 & | & 0.09375 0 & 0 & 1 & 0.25 & -10 & | & 2.125 0 & 0 & 0 & 4.5 & 3 & | & 2.75

Passo 9

Agora, vamos para a quarta coluna. O pivô é 4.5 na quarta linha. Vamos transformá-lo em 1 dividindo a quarta linha por 4.5:
R4 = 14.5 R4 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 0 & 3.5 & | & 0.15625 0 & 1 & 0 & 0.6875 & -4.5 & | & 0.09375 0 & 0 & 1 & 0.25 & -10 & | & 2.125 0 & 0 & 0 & 1 & 23 & | & 1118

Passo 10

Vamos usar a quarta linha para eliminar os outros elementos na quarta coluna.
  • Para a segunda linha (R2), subtraímos 0.6875 vezes R4 de R2:
R2 = R2 - 0.6875R4 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 0 & 3.5 & | & 0.15625 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & | & -0.40625 0 & 0 & 1 & 0.25 & -10 & | & 2.125 0 & 0 & 0 & 1 & 23 & | & 1118
  • Para a terceira linha (R3), subtraímos 0.25 vezes R4 de R3:
R3 = R3 - 0.25R4 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 0 & 3.5 & | & 0.15625 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & | & -0.40625 0 & 0 & 1 & 0 & -323 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & 23 & | & 1118

Passo 11

Agora, nossa matriz já está na forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Ela fica assim:
1 & 0 & 0 & 0 & 3.5 & | & 0.15625 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & | & -0.40625 0 & 0 & 1 & 0 & -323 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & 23 & | & 1118

Resposta

A expressão para a matriz escalonada reduzida por linhas é:
1 & 0 & 0 & 0 & 72 & | & 16.4 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & | & -1332 0 & 0 & 1 & 0 & -323 & | & 2 0 & 0 & 0 & 1 & 23 & | & 1118

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