Determine a soluçāo do sistema linear
Determine a expressāo para a matriz escalonada reduzida por linhas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você me passou. A gente vai usar um método chamado escalonamento de matrizes para simplificar o sistema e chegar na matriz escalonada reduzida por linhas. Isso vai ajudar a encontrar as soluções das variáveis envolvidas. Precisaremos usar operações básicas de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, que é 2. Queremos que esse elemento seja 1 para facilitar os cálculos. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, vamos usar a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do pivô (o 1 na primeira linha).
- Para a segunda linha (R2), somamos R1 a R2:
- Para a terceira linha (R3), subtraímos 3 vezes R1 de R3:
- Para a quarta linha (R4), somamos R1 a R4:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. O pivô é o -2 na segunda linha. Vamos transformá-lo em 1 dividindo a segunda linha por -2:
Passo 6
Vamos usar a segunda linha para eliminar os outros elementos na segunda coluna.
- Para a primeira linha (R1), subtraímos 3 vezes R2 de R1:
- Para a terceira linha (R3), adicionamos 8 vezes R2 a R3:
- Para a quarta linha (R4), subtraímos 2 vezes R2 de R4:
Passo 7
Agora, vamos para a terceira coluna. O pivô é -4 na terceira linha. Vamos transformá-lo em 1 dividindo a terceira linha por -4:
Passo 8
Vamos usar a terceira linha para eliminar os outros elementos na terceira coluna.
- Para a primeira linha (R1), subtraímos 1.75 vezes R3 de R1:
- Para a segunda linha (R2), somamos 0.75 vezes R3 a R2:
- Para a quarta linha (R4), subtraímos 2 vezes R3 de R4:
Passo 9
Agora, vamos para a quarta coluna. O pivô é 4.5 na quarta linha. Vamos transformá-lo em 1 dividindo a quarta linha por 4.5:
Passo 10
Vamos usar a quarta linha para eliminar os outros elementos na quarta coluna.
- Para a segunda linha (R2), subtraímos 0.6875 vezes R4 de R2:
- Para a terceira linha (R3), subtraímos 0.25 vezes R4 de R3:
Passo 11
Agora, nossa matriz já está na forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Ela fica assim:
Resposta
A expressão para a matriz escalonada reduzida por linhas é: