Determinar a equação do plano nas situações abaixo: perpendicular à reta r : lx=2 y-3 z=-y+1 e que contém o ponto P(4,-1,2).

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos que determinar a equação de um plano que é perpendicular à reta l x = 2 y = t + 3 z = -t + 1 definida por:
e que contém o ponto .
Conteúdo envolvido:
  • Geometria Analítica: Estudo de planos e retas no espaço tridimensional.
  • Equação do Plano: Fórmula que define todos os pontos que pertencem a um plano.
  • Vetores Diretores e Normais: Conceitos essenciais para relacionar retas e planos.
Vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e utilizá-lo para definir a normal do plano. Depois, usaremos o ponto para encontrar a equação específica do plano.

Passo 2

Encontrando o vetor diretor da reta l x = 2 y = t + 3 z = -t + 1 :
A reta r(t) = 2 3 1 + t 0 1 -1 está definida pelas equações parametrizadas:
d = 0 1 -1
Aqui, é o parâmetro.
Podemos reescrever isso como:
Portanto, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Determinar a normal do plano:
Como o plano deve ser perpendicular à reta n = 0 1 -1 , a normal do plano será paralela ao vetor diretor da reta.
Portanto, a vetor normal ( ) do plano é igual ao vetor diretor da reta :

Passo 4

Usando o ponto n cdot (r - r0) = 0 para encontrar a equação do plano:
A fórmula geral da equação de um plano é:
0 1 -1 cdot x - 4 y + 1 z - 2 = 0
onde:
  • 0 cdot (x - 4) + 1 cdot (y + 1) + (-1) cdot (z - 2) = 0 é o vetor normal,
  • 0 + y + 1 - z + 2 = 0 é um vetor posição genérico y - z + 3 = 0 ,
  • é o vetor posição do ponto conhecido .
Substituindo os valores:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é:
y - z + 3 = 0

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