Determinar a equação do plano nas situações abaixo: perpendicular à reta : e que contém o ponto .

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos que determinar a equação de um plano que é perpendicular à reta definida por:
e que contém o ponto .
Conteúdo envolvido:
  • Geometria Analítica: Estudo de planos e retas no espaço tridimensional.
  • Equação do Plano: Fórmula que define todos os pontos que pertencem a um plano.
  • Vetores Diretores e Normais: Conceitos essenciais para relacionar retas e planos.
Vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e utilizá-lo para definir a normal do plano. Depois, usaremos o ponto para encontrar a equação específica do plano.

Passo 2

Encontrando o vetor diretor da reta :
A reta está definida pelas equações parametrizadas:
Aqui, é o parâmetro.
Podemos reescrever isso como:
Portanto, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Determinar a normal do plano:
Como o plano deve ser perpendicular à reta , a normal do plano será paralela ao vetor diretor da reta.
Portanto, a vetor normal ( ) do plano é igual ao vetor diretor da reta :

Passo 4

Usando o ponto para encontrar a equação do plano:
A fórmula geral da equação de um plano é:
onde:
  • é o vetor normal,
  • é um vetor posição genérico ,
  • é o vetor posição do ponto conhecido .
Substituindo os valores:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é:

Exercícios relacionados

Verifique se os planos abaixo são perpendiculares
a)
b)
Determine a posição relativa entre os planos:
a) e ;
b) e .
Determine o valor de para que os planos e sejam paralelos distintos.
Seja o plano : , calcular: O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro d cota.