Determinar a equação do plano nas situações abaixo: perpendicular à reta : e que contém o ponto .
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos que determinar a equação de um plano que é perpendicular à reta definida por:
e que contém o ponto .
Conteúdo envolvido:
Geometria Analítica: Estudo de planos e retas no espaço tridimensional.
Equação do Plano: Fórmula que define todos os pontos que pertencem a um plano.
Vetores Diretores e Normais: Conceitos essenciais para relacionar retas e planos.
Vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e utilizá-lo para definir a normal do plano. Depois, usaremos o ponto para encontrar a equação específica do plano.
Passo 2
Encontrando o vetor diretor da reta l x = 2 y = t + 3 z = -t + 1 :
A reta r(t) = 2 3 1 + t 0 1 -1 está definida pelas equações parametrizadas:
d = 0 1 -1
Aqui, é o parâmetro.
Podemos reescrever isso como:
Portanto, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Determinar a normal do plano:
Como o plano deve ser perpendicular à reta n = 0 1 -1 , a normal do plano será paralela ao vetor diretor da reta.
Portanto, a vetor normal () do plano é igual ao vetor diretor da reta :
Passo 4
Usando o ponto n cdot (r - r0) = 0 para encontrar a equação do plano:
A fórmula geral da equação de um plano é:
0 1 -1 cdot x - 4 y + 1 z - 2 = 0
onde:
0 cdot (x - 4) + 1 cdot (y + 1) + (-1) cdot (z - 2) = 0 é o vetor normal,
0 + y + 1 - z + 2 = 0 é um vetor posição genérico y - z + 3 = 0 ,