Determine a posição relativa entre os planos:
a)
e
;
b)
e
.
a)
b)
Passo 1
Então, o que temos aqui são dois exercícios sobre a posição relativa entre planos no espaço tridimensional. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos, para descobrir se os planos são paralelos, coincidentes ou se interceptam. Para isso, vamos analisar as equações dos planos e comparar seus coeficientes.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) do exercício:
Passo 3
Primeiro, observamos os coeficientes angulares dos planos, que são os números na frente de
,
e
. Para
, os coeficientes são
,
e
. Para
, são
,
e
.
Passo 4
Notamos que os coeficientes de
são exatamente o dobro dos coeficientes de
:
Isso significa que as normais dos planos são paralelas, ou seja, os planos têm a mesma orientação no espaço.
Passo 5
Agora, para determinar se os planos são coincidentes ou paralelos distintos, verificamos se as constantes das equações s��o múltiplos:
Vemos que
, então as equações não representam o mesmo plano. Portanto, os planos são paralelos distintos.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) do exercício:
Passo 7
Primeiro, observamos os coeficientes angulares:
Para
:
(x),
(y),
(z).
Para
:
(x),
(y),
(z).
Passo 8
Verificamos se os coeficientes de
são múltiplos dos de
:
Como os coeficientes não mantêm uma proporção constante para todas as variáveis, os planos não são paralelos.
Passo 9
Como os planos não são paralelos, eles se intersectam. A interseção de dois planos que não são paralelos é uma reta.
Resposta
a) Os planos
e
são paralelos distintos.
b) Os planos
e
se interceptam formando uma reta.
Exercícios relacionados
Determine a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Determine o valor de
para o caso em que
e
.
Seja o plano
que contém o ponto
e é paralelo aos vetores
e
:
a) obtenha a equação vetorial do plano;
b) obtenha as equações paramétricas
c) verifique se o ponto pertence ao plano;
d) verifique se o vetor é paralelo a
.
a) obtenha a equação vetorial do plano;
b) obtenha as equações paramétricas
c) verifique se o ponto
d) verifique se o vetor
Verifique se os planos abaixo são perpendiculares
a)
b)
a)
b)
Determinar a equação do plano nas situações abaixo: perpendicular à reta
:
e que contém o ponto
.