Verifique se os planos abaixo são perpendiculares
a) pi1: x-2 y+4 z+1=0
b) pi2: X=(4,3,1)+lambdalang<= 1,0,1rang<=+mulang<= 3,1,0rang<=

Passo 1

Beleza, a gente vai verificar se os planos que você enviou são perpendiculares. O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores normais dos planos e o produto escalar. Basicamente, se o produto escalar dos vetores normais for zero, os planos são perpendiculares. Então, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e fazer esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal do primeiro plano, n1 = lang<= 1, -2, 4 rang<= . A equação geral de um plano é , e o vetor normal é . Então, para , o vetor normal é:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo plano, X = (4, 3, 1) + lambda lang<= 1, 0, 1 rang<= + mu lang<= 3, 1, 0 rang<= , que está dado na forma paramétrica:
Os vetores e são vetores diretores do plano. Para encontrar o vetor normal , a gente precisa calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial:
n2 = lang<= 1, 0, 1 rang<= times lang<= 3, 1, 0 rang<=
O cálculo fica assim:
n2 = lang<= (0 cdot 0 - 1 cdot 1), (1 cdot 0 - 1 cdot 3), (1 cdot 1 - 0 cdot 3) rang<= = lang<= -1, -3, 1 rang<=
Então, o vetor normal de n2 = lang<= -1, -3, 1 rang<= é:

Passo 5

Agora que temos os vetores normais dos dois planos, n1 cdot n2 = (1)(-1) + (-2)(-3) + (4)(1) = -1 + 6 + 4 = 9 e , vamos calcular o produto escalar deles. Se o resultado for zero, os planos são perpendiculares. O produto escalar é calculado assim:

Resposta

Como o produto escalar é 9, diferente de zero, os planos e não são perpendiculares.

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