Determinar a equação do plano tangente e da reta normal da função em
.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal nessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais da função.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está na superfície definida por
. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto está certinho na superfície.
Passo 3
Agora, para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções dos eixos.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Esses valores vão nos ajudar a construir o plano tangente.
Passo 5
A equação do plano tangente a uma superfície
no ponto
é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, essa é a equação do plano tangente.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a reta normal à superfície no ponto
. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e, portanto, tem como direção o vetor gradiente da função
no ponto.
O vetor gradiente é dado por
. Mas como
, o vetor normal geralmente é
.
No nosso caso:
Passo 8
A equação paramétrica da reta normal pode ser escrita usando o ponto
e a direção do vetor gradiente
:
Onde
é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente é
e a equação paramétrica da reta normal é: